# Brydges–Fröhlich–Seiler (1979) 第 1 部：格子ゲージ理論の反磁性不等式・反射正値性・チェッカーボード評価

> Brydges–Fröhlich–Seiler の論文 §2 を精読する。w パラメータ化と反射正値性から、外部ゲージ場で真空エネルギー密度が上がる反磁性不等式（Dirac 場を含む）、OS 正値性、チェッカーボード評価、赤外評価を証明し、フェルミオンの境界条件と Wilson 項の条件を正す。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/constructive-papers/brydges-frohlich-seiler-1979-part-1

## 0. この記事の要点

物質の場を外から与えた電磁場（一般には色の力の場）の中に置くと、真空のエネルギーは下がらず、上がるか変わらないか、のどちらかです。Brydges・Fröhlich・Seiler は 1978 年のプレプリントで、この「反磁性」を格子の上で、スカラー場にも Dirac 場にも成り立つ形で証明しました。本章はその §2 を、省かれた段を埋め、誤りを直しながら読みます。

- **反磁性不等式**（原論文 Theorem 2.3 = Theorem A）：偶数辺のトーラスで、外部ゲージ場 $g$ の中の物質の分配関数は $|Z_\Lambda(g)|\le Z_\Lambda(1)$ を満たし、真空エネルギー密度は $\varepsilon_\Lambda(g)\ge\varepsilon_\Lambda(1)$ です。証明は、反射正値性から出る Schwarz 不等式で「反射面をまたぐゲージ場を 1 に置き換える」操作を、最大値の議論で全ボンドに及ぼすものです。
- **原論文の誤り 1**：Dirac 場に周期境界条件を課すと定理は偽です。1 次元・4 サイトの例で、ゲージ場の流束を $\pi$ にすると分配関数が増えることを示します。正しくはフェルミオンに**反周期境界条件**を課します（Bose 場とゲージ場は周期のまま）。
- **原論文の誤り 2**：Wilson 型のホッピング行列 $\Gamma_{xy}$ への条件 $\gamma_{xy}\Gamma_{xy}^*\gamma_{xy}=\Gamma_{xy}$ は「$\Gamma_{xy}\gamma_{xy}$ がエルミート」と言っているだけで足りず、$\Gamma_{xy}\gamma_{xy}\ge0$ が要ります。$\Gamma=r+\gamma_{xy}$ なら $|r|\le1$ です。
- ゲージ場を「サイトごとの群の元 $w_{x,b}$」で書く **w パラメータ化**のおかげで、反射面をまたぐリンクの変数が両側に分かれ、ゲージ固定なしに OS 正値性（Theorem 2.8）が出ます。分配関数の下界（Proposition 2.7）は、Grassmann 積分では $\langle1\rangle=0$ なので原論文の形（$\ge1$）がフェルミオンで崩れることを例で示し、1 サイトの分配関数 $z_1$ を使った $Z_\Lambda\ge|z_1|^{|\Lambda|}$ に直して証明します。
- **チェッカーボード評価**（Theorem 2.10）を 1 方向の評価の $\nu$ 回の合成として、**赤外評価**（Theorem 2.11）を「反射面をまたぐ歪みはユニタリ行列として吸収できる」補題から証明します。真空エネルギー密度の存在と単調性（Corollary 2.9）は転送行列の跡の不等式から示します。原論文が構成を省いた転送行列は、Fermi 場を含む場合も、反射正値性と Grassmann 積分の符号の勘定から「格子 2 つ分の転送」が半正定値になる形で作ります。

## 1. 動機

磁場の中に電子を置いたときの基底状態のエネルギーが、磁場がない場合より下がらないこと、すなわち反磁性は、量子力学では Kato の不等式や Feynman–Kac 公式（経路積分）を使って示される古典的な事実です。電子の経路は磁場から位相 $e^{i\int A}$ を受け取るだけで、位相の絶対値は 1 なので、経路積分の和は位相をそろえた場合（磁場ゼロ）に最大になる、という直観です。

場の量子論では、外部ゲージ場 $g$ の中に置いた物質場の真空エネルギー密度を $\varepsilon(g)$ と書くと、反磁性は $\varepsilon(g)\ge\varepsilon(1)$ という主張になります。自由スカラー場については Schrader と R. Seiler が示していました。Brydges・Fröhlich・Seiler（以下 BFS）は、これが**自己相互作用を持つ任意の局所的な場の理論**、それも Dirac 場を含む理論で成り立つことを、[反射正値性](/physics/lattice-field-theory/reflection-positivity-lattice#def-reflection-positivity)（ユークリッド場の理論で量子力学の正定値な内積を保証する条件）だけから導きました。反射正値性は Osterwalder–Seiler が格子ゲージ理論で示していた性質で（<Ref to="physics/constructive-papers/osterwalder-seiler-1978-part-1#thm-os-link-reflection-positivity" />）、BFS はそれを「Schwarz 不等式の繰り返し」という統計力学の道具（Fröhlich–Israel–Lieb–Simon のチェッカーボード評価）と組み合わせています。

BFS の論文シリーズの目標は、2 次元の可換 Higgs 模型（スカラー QED）を連続極限で構成することでした。第 I 論文（本論文）が一般論と格子上の不等式、第 II 論文が連続極限の構成、第 III 論文が質量生成・$\theta$ 真空・閉じ込めです。反磁性不等式は、ゲージ場を積分する前の「外場中の物質」の分配関数を上から抑えるので、ゲージ場の積分に一様な評価を与えます。これは後の QED の構成（格子間隔によらない評価）で繰り返し使われる型の不等式です。

論文の §2 の構成と本章での扱いは次のとおりです。

| 原論文 | 内容 | 本章 |
|---|---|---|
| §2.1 (2.1)–(2.33) | 場・期待値・w パラメータ化・ゲージ変換・反射 $\theta$、Lemma 2.1, 2.2 | §3・§4 |
| §2.2 (2.34) | 相互作用ポテンシャルの一般論（証明なしの概観） | 扱わない（主張を含まない） |
| §2.3 (2.35)–(2.55) | 外場中の物質、Theorem 2.3、Corollary 2.4, 2.5、Theorem 2.6 | §5 |
| §2.4 (2.56)–(2.66) | Yang–Mills 作用、Proposition 2.7、Theorem 2.8、Corollary 2.9、Theorem 2.10, 2.11 | §6・§7 |
| §3–§4 | 共変 Laplacian の Kato 型不等式、可換 Higgs 模型の強い反磁性不等式 | [第 2 部](/physics/constructive-papers/brydges-frohlich-seiler-1979-part-2) |
| §5–§6 | ゲージ不変性と OS 正値性のゲージ非依存性、Ginibre 型不等式 | [第 3 部](/physics/constructive-papers/brydges-frohlich-seiler-1979-part-3) |

<Remark id="rem-bfs-theorems-cde" title="§1 の Theorem B–E について">
原論文の §1.2 は主結果を Theorem A–E としてまとめています。Theorem A はこの章の <Ref to="thm-bfs-diamagnetic" /> です。Theorem B（共変 Laplacian の伝播関数の評価と、可換 Higgs 模型の非正規化 Schwinger 関数の上界）は §3・§4 の内容で、第 2 部で証明します。Theorem C（$\nu\ge3$ の Higgs 模型での第 2 のスカラー場の質量生成）、Theorem D（2 次元可換 Higgs 模型の $\theta$ 真空と $\theta=\pi$ での 1 次相転移）、Theorem E（分数電荷のクォークの Wilson ループの面積則）は、原論文自身が「III を見よ」と述べるだけで本論文に証明がありません。証明は BFS の第 III 論文（Commun. Math. Phys. 79 (1981)）にあるので、本論文の範囲外として本章では扱いません。Theorem E の証明にこの章のチェッカーボード評価（<Ref to="thm-bfs-chessboard" />）が使われる、とだけ述べておきます。
</Remark>

<Remark id="rem-bfs-preprint" title="照合した版と番号">
本章は IHES のプレプリント IHES/P/78/237（1978 年 6 月、93 頁）と照合して書きました。出版版（Ann. Phys. 121 (1979) 227–284）は手元に無く、節・式・定理の番号は**プレプリントの番号**です。出版版で番号や記述が変わっている可能性があります。
</Remark>

（この章の続きは購入者向けです。）