Abdesselam–Rivasseau『Trees, forests and jungles』(1994) 部 1：森公式・Taylor 森公式・ジャングル公式の組合せ論的証明

0. この記事の要点

• たくさんの部品がゆるく結びついた系で、「どの部品とどの部品が実際につながっているか」を、つながりの強さを 0 から 1 まで少しずつ入れながら書き出す公式があります。この章は、その公式を計算だけで（微分方程式を使わずに）証明した A. Abdesselam と V. Rivasseau の 1994 年の論文の前半（§I–IV）を読みます。
• 構成的場の理論の言葉では、これはクラスター展開（空間を立方体に分け、立方体どうしの結合を補間して、連結な塊ごとに因子化する展開）の公式です。Brydges–Kennedy の森公式は、結合をすべて入れた $\exp(\sum_lu_l)$ を、閉路のないリンクの集合（森）についての和に書き直します。原論文はこれを、単体上の指数関数の積分（Lemma II.1）と、順序付きの森についての有理式の恒等式（Lemma II.2）の二つだけから導きます。
• 同じ方法で、各クラスターに根を決めて層ごとに補間する根付き森公式（Theorem II.2）、可換 Banach 代数に $u_l=\partial/\partial x_l$ を入れて得る Taylor 森公式（Theorem III.1, III.2）、森を $m$ 段重ねたジャングル公式（Theorem IV.1–IV.4）が出ます。最後に、Brydges–Kennedy 型の補間が半正定値行列を半正定値のまま保つこと（Theorem IV.5）を示します。根付き版はこの性質を持ちません（4 点の反例を作ります）。
• 原論文が「容易」「よく知られている」で済ませた段（連結集合関数と連結グラフの和の一致、Banach 代数への延長、多項式の $C^k$ 位相での稠密性、森から分割への縮約の対応）をすべて証明します。原論文の小さな誤記（$b^F_0$ は $0$ ではなく $1$）も直します。また、根付き森公式は「各クラスターの根の選び方」を任意にしても成り立つ形で証明し、ジャングル公式の帰納法で必要になる「誘導された根」をそのまま扱えるようにします。
• 後半の 部 2 は、これらの公式を $\phi^4$ 模型のポリマー表示、Mayer 展開、大場・小場の 2 段ジャングルに使います。

1. 動機

たとえば部屋の中に $n$ 個の粒子があり、どの 2 つも少しずつ引き合ったり反発したりしているとします。全体の重み $\exp(\text{相互作用の和})$ は、すべての粒子が絡み合った 1 つの量です。ところが統計力学や場の理論で知りたいのは、多くの場合「互いに強くつながった小さな塊」ごとの寄与と、塊のあいだのつながりの弱さです。全体の量を塊ごとの積の和に書き直す操作をクラスター展開と呼びます。

構成的場の理論では、Glimm–Jaffe–Spencer（1973–74）以来、時空を単位立方体に分け、立方体のあいだの共分散（伝播関数）に補間パラメータ $s\in[0,1]$ を掛けて $0$ から $1$ へ動かし、微積分の基本定理で「立方体どうしを結ぶリンク」を 1 本ずつ取り出すという形で展開を組み立ててきました。この操作を何度も繰り返すと、結合したリンクの集合は木になり、塊ごとの量は木についての和で書けます。こうした「木の公式」には何通りかの形があり、1980 年代の Ecole Polytechnique では Brydges・Battle・Federbush による順序付き木の公式が使われていました。そこでは最初の立方体（根）を含む塊をまず完成させてから次の塊に進むので、立方体に順番を付けるという恣意的な選択が必要でした。

Brydges と Kennedy（1987）は、この恣意性のない公式を見つけました。それが Rikai の既出の 森公式（定理 5.1）［クラスター展開と Kotecký–Preiss の判定条件］ で、すべての塊が同時に対称に育っていきます。補間係数 $s^{\mathfrak F}_{ij}(h)$ は「森の中で $i$ と $j$ を結ぶ道の上の $h$ の最小値」という単純な形をしており、しかも共分散行列を半正定値のまま補間します。Gauss 測度の共分散に掛けても測度が意味を持ち続けるので、この正値性こそが構成的場の理論で森公式が使える理由です。

Brydges–Kennedy の元の証明は Hamilton–Jacobi 型の微分方程式によるもので、なぜこの形になるのかが見えにくいものでした。Abdesselam と Rivasseau の論文は、これを純粋に組合せ論的に証明し、さらに 3 方向に一般化しました。

1. 根付き森公式: 各クラスターに根を決め、根からの距離（高さ）で層に分けて、隣り合う層だけを補間する公式。順序付き木の公式の対称な後継です。
2. Taylor 森公式: 指数関数だけでなく、一般の滑らかな関数 $H$ について $H(\mathbf 1)$ を森の和と $H$ の偏導関数で書く公式。代数的な公式に微分作用素を代入するだけで得られます。
3. ジャングル公式: 森を $m$ 段重ねた入れ子 $\mathfrak F_1\subset\cdots\subset\mathfrak F_m$ についての公式。構成的場の理論では、クラスター展開の上にもう一度クラスター展開（たとえば Mayer 展開や大場領域の展開）を重ねることが多く、その全体を 1 つの式で書けます。

この論文の公式は、のちの多段の位相空間展開の部品になりました。同じ著者らの 1997 年の論文（Rikai では 部 1 から読めます）は、森公式の「すでにつながった塊の内側にはリンクを張らない」という規則を選択写像として抽象化し、尺度方向の展開まで 1 本の線形補間で扱いました。本章の公式は、その最も単純な場合です（続編の補間の補題 補題 3.3［Abdesselam–Rivasseau (1997) 部 1］ が単一尺度で森公式に戻ることは 命題 8.1［Abdesselam–Rivasseau (1997) 部 1］ で確かめられています。本章の証明はこれらに依存しません）。

原論文の主張と本章の環境の対応は次のとおりです。

原論文	本章
Lemma II.1	補題 3.2
Lemma II.2（と (II.7)、(II.15)）	補題 3.7（補題 3.5、補題 3.6）
Theorem II.1	定理 4.3
(II.27)	補題 5.3
(II.28)	補題 5.5
Theorem II.2	定理 5.6
Theorem III.1	既出 定理 5.1［クラスター展開と Kotecký–Preiss の判定条件］（本章の方法による別証は 注意 6.4）
§III の証明（微分作用素の代入と稠密性）	補題 6.1、補題 6.2、命題 6.3
Theorem III.2	定理 6.5
Theorem IV.1, IV.2	定理 7.4、定理 7.5
Theorem IV.3, IV.4	定理 7.6、定理 7.7
Theorem IV.5	定理 8.3
「根付き公式は正値性を保たない」	例 8.5

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