Gawędzki–Kupiainen『Massless lattice φ⁴₄ theory』(1985) 第 3 部：帰納的評価 I — 小場の寄与と有効結合定数の抽出

0. この記事の要点

• くりこみ群の 1 段を繰り返すとき、有効相互作用が毎回同じ「型」をもつことは第 2 部で示しました。本章は、その型の中の数（結合定数や無関連な項）の大きさが段ごとに保たれることを示す部分の前半（小場の部分）です。K. Gawędzki と A. Kupiainen の論文の §6–§9 を読みます。
• 大きさは $\bar n:=n_0+n$ の冪で測ります（$\lambda_n\asymp\bar n^{-1}$）。原論文 (6.1)–(6.5) の帰納的評価を定義として置き、それが $n\to n+1$ で保たれるという主張（原論文の Main Technical Result）を述べます。
• 小場（場の値が $\bar n^{1/4}$ 程度以下の領域）では、揺らぎ場は大きさ $1$ 程度、背景の場は $\bar n^{1/4}$ 程度なので、揺らぎ場を 1 つ挿入するごとに $\bar n^{-1/4}$（縮約 1 つにつき $\bar n^{-1/2}$）を得ます。本章はこの勘定を、揺らぎ場に掛けたパラメータ $\tau$ についての Taylor 展開として実行し、局所寄与（§7）と非局所寄与（§8）を 6 個の挿入まで一様に評価します。
• 大きい揺らぎの寄与は Gauss 測度の裾で $e^{-c\bar n^{1/2}}$ に抑え、第 2 部で仮定とした指数化の条件（Kotecký–Preiss の条件）を小場について示します。その結果、6 次以上の項が 1 段で縮小すること（(6.4) の $n+1$ での成立）が、場の大きさの取り替えと最大値原理から従います。
• 原論文の式のうち、6 次の明示的な項の局所化（(5.51) と (8.28) の食い違い）と、最大値原理の因子（$(4/L)^6$ ではなく $(8/L)^6$）は直してあります。
• 4 次の項（§9）からは、場が定数のときに残る部分 $\delta\lambda\int\psi'^4$ を取り出して結合定数に繰り入れ、残りを「場の差だけに依存する」形に書き直します。$\delta\lambda$ は第 1 部の泡図形の値 $\delta\lambda^1$ と $O(\bar n^{-13/6})$ しか違わず、$\lambda_{n+1}=\lambda_n-a_n\lambda_n^2+O(\lambda_n^{13/6})$（$a_n>0$）が剰余つきで成り立ちます。差だけに依存する 4 次の項は、段を下げると $L^{-1}$ 倍に縮小します（(6.2)・(6.3) の $n+1$ での成立）。

1. 動機

細かいゆらぎを積分して粗い場の重みを作り直す操作を何度も繰り返すとき、重みの形が保たれるだけでは足りず、形の中の各部分が小さいままであることを確かめなければなりません。小ささが段ごとに少しずつ悪化すれば、繰り返しの果てに制御が失われるからです。本章はこの「小ささの帰納法」の前半を扱います。

場の理論の言葉で言えば、4 次元の $\phi^4$ 模型では 4 次の結合定数 $\lambda$ が限界的で、摂動論は $\lambda_{n+1}=\lambda_n-\alpha\lambda_n^2+\cdots$ を予言します（第 1 部）。この漸化式を剰余まで含めて正当化するには、有効相互作用 $V^n$ の他の部分（無関連な 2 次・4 次の項、6 次以上の項、大場での Boltzmann 因子）が $\lambda_n$ の適当な冪で抑えられることを、段ごとに保たなければなりません。原論文はその評価を (6.1)–(6.5) にまとめ、§7–§11 でそれが保たれることを示しました。本章は小場の部分（§7–§9）、大場の部分と質量・波動関数のくりこみは第 4 部です。

小場で摂動論が使える理由は単純です。背景の場 $\tilde\psi$ は大きさ $\bar n^{1/4}$ まで許されますが、1 段で積分する揺らぎ場 $\mathcal Z=\mathcal MZ$ は典型的に大きさ $1$ です。$\lambda\tilde\psi^4$ は $O(1)$ でも、それを $\mathcal Z$ の方向に 1 回微分すると $\lambda\tilde\psi^3\sim\bar n^{-1/4}$ になります。原論文はこれを「縮約 1 つにつき $\bar n^{-1/2}$」と表現し（(7.5)）、最低次の項を列挙して残りを「演習」としました。本章では、揺らぎ場を $\tau\mathcal Z$（$0\le\tau\le1$）に替えて $\tau$ について Taylor 展開するという一つの仕組みで、局所・非局所の両方を扱います。

4 次の項にはもう一つ仕事があります。1 段で新しく生じる 4 次の項は、同じ点での 4 乗 $\int\psi'^4$ の形をしていません。離れた 4 点での場の積に核を掛けたものです。場がゆっくり変わるなら 4 点の値はほぼ等しいので、主要部は「核の総和」$\times\int\psi'^4$ で、これが結合定数の変化 $\delta\lambda$ です。残りは場の差を含み、差は段を下げるたびに余分に $L^{-1}$ 倍になるので無関連です。§8 では、この分け方を、核が単位格子の平行移動でしか不変でないこと（細かい格子の平行移動では不変でない）に注意しながら正確に実行し、$\delta\lambda$ が第 1 部の摂動計算の値に $O(\bar n^{-13/6})$ の精度で一致することを示します。

原論文の式と本章の環境の対応は次のとおりです。

原論文	本章
(6.1)–(6.5)	定義 2.3、定義 2.4
(6.6)–(6.8)	命題 2.7、定理 2.8
(7.5)	補題 4.2
(7.7)–(7.8)	補題 4.3
(7.4)、(7.18)–(7.20)	補題 4.4、定理 5.2
(7.9)–(7.15)、(7.22)–(7.24)	定理 6.4、補題 6.6、補題 6.7、補題 6.5
(8.1)–(8.8)	補題 7.1、補題 7.4
(8.9)–(8.20)	補題 7.2、補題 7.3
(8.21)–(8.22)	命題 7.5、系 7.6
(8.23)–(8.28)	定理 5.2、定理 7.7
(8.29)–(8.31)	定理 7.9
(9.1)–(9.8)	補題 8.1、補題 8.2
(9.9)–(9.19)	命題 8.3、定義 8.4
(9.20)–(9.23)	補題 8.5、命題 8.6、補題 8.7、系 8.8
(9.24)–(9.33)	補題 8.9、定理 8.10
(9.34)–(9.36)	補題 8.11、定理 8.12、定理 8.13

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