Lüscher (1977)：ゲージ場も量子化した格子 QCD の自己共役で厳密に正の転送行列

0. この記事の要点

コンピュータで素粒子の理論を計算するときは、空間と時間を細かい格子に区切り、時間を 1 コマずつ進める規則（転送行列）で全体を組み立てます。その規則が「正の数だけでできた行列」になっていれば、格子の計算結果を量子力学の確率やエネルギーとして読むことができます。Lüscher は 1977 年の短い論文で、クォークとグルーオンの両方を格子に載せた理論（格子 QCD）について、この規則を具体的に書き下し、それが本当に正であることを示しました。本章はこの論文 1 本を、省かれた計算を埋めながら読みます。

• 時刻 0 の状態空間を「空間リンクのゲージ場の $L^2$ 空間」と「クォークの Fock 空間」のテンソル積として作り、転送行列 $\hat T$ を、ゲージ場について積分核、フェルミオンについて Fock 空間の作用素という形で与えます（原論文 (17)）。
• $\hat T$ は有界・自己共役・ゲージ不変で、厳密に正です（原論文の Proposition 1）。正値性の機構は 2 つだけです。時間方向プラケットの重み $\exp(\frac{\beta}{N}\mathrm{Re}\,\mathrm{tr}\,V)$ の指標展開係数がすべて正であること、ホッピングパラメータが $0\lt K\lt1/6$ でフェルミオン部分の行列 $B$ が正定値であること、です。本章ではさらに $\hat T$ がトレースクラスであることを示します。
• 原論文は $H=-\frac1a\ln\hat T$ を「有界」と書いていますが、これは誤りです。ゲージ場の状態空間は無限次元で $\hat T$ はコンパクトなので、固有値は $0$ に集積し、$H$ は下に有界・上に非有界な自己共役作用素になります。固有値が実であるという結論は正しく、本章では修正した形で証明します。
• 付録の Grassmann 核の公式 (A1)–(A10) をすべて証明し、それを使って、正規順序をつけた作用素のトレースが Euclid 経路積分の期待値に一致すること（再構成定理、原論文の Proposition 2）を示します。そこから物理的正値性（Osterwalder–Schrader 正値性）が従います。
• 時間ゲージ $U(n,0)=1$ をすべての時刻で課すと、有限体積ではゲージ不変量の期待値が変わります（原論文の脚注 3 が認めている点）。本章では残る 1 枚の時間リンクの Haar 積分がゲージ不変な部分空間への射影 $P$ を与えることを示し、$Z=\mathrm{Tr}(P\hat T^{N})$ という正しい形を証明します。

1. 動機

量子力学の言葉では、時間発展は $e^{-itH}$、虚時間（Euclid 時間）の発展は $e^{-tH}$ で与えられます。格子の上で時間間隔 $a$ を固定すると、虚時間の 1 ステップは $\hat T=e^{-aH}$ という 1 つの作用素で、Euclid 経路積分の重みはこの $\hat T$ を時間方向に並べた積のトレースになります。逆に、経路積分から出発して量子力学を取り出すには、$\hat T$ を状態空間の上の作用素として構成し、それが自己共役で正であることを確かめなければなりません。正でなければ $-\frac1a\ln\hat T$ は実の固有値を持つハミルトニアンになりません。

Wilson が 1974 年に格子ゲージ理論を提案したとき、この性質は自明ではありませんでした。連続体のゲージ理論では、ゲージ固定のために Faddeev–Popov のゴースト場を導入し、正定値でない計量の空間で計算するのが普通だったからです。Lüscher の論文（M. Lüscher, Commun. Math. Phys. 54 (1977) 283–292、DESY 76/54）は、格子では次の 2 つの事情により正値性が厳密に成り立つことを、作用素を書き下して示しました。

1. ゲージ場の部分は、時間方向のリンクを $1$ にそろえる時間ゲージで書くと、隣り合う時刻の空間リンク $U,U'$ を結ぶ積分核 $\prod\exp(\frac{\beta}{N}\mathrm{Re}\,\mathrm{tr}\,U U'^{-1})$ になります。これはコンパクト群の上の正定値型関数で作った核なので、積分作用素として正になります。
2. Wilson フェルミオンでは Wilson パラメータを $r=1$ に選ぶと、時間方向の跳びが射影 $(1\pm\gamma_0)/2$ になり、各時刻の自由度の半分は未来へ、残りの半分は過去へだけつながります。この構造のおかげで、フェルミオン部分も「$X^{*}X$」の形に書けます。

同じ年に Creutz（Phys. Rev. D 15 (1977) 1128）も時間ゲージでの転送行列を論じ、翌 1978 年には Osterwalder と Seiler が、逆向きに反射正値性から転送行列を抽象的に再構成する方法を与えました（第 1 部）。Lüscher の方法の利点は、転送行列が明示的な式で得られることで、そこから強結合展開のスペクトル表示や、静的クォークのポテンシャルの正値な表示（Wilson ループの期待値が $\sum_nw_ne^{-TE_n}$、$w_n\ge0$ と書けること）が仮定ではなく定理になります。

本サイトの既出章 Wilson・staggered フェルミオンの転送行列 では、ゲージ場を外場として固定したときのフェルミオン部分（定理 4.3［Wilson・staggered フェルミオンの転送行列］）を証明し、ゲージ場も量子化した全体は注意（注意 4.6［Wilson・staggered フェルミオンの転送行列］）で述べるだけにしていました。本章はその注意の内容を定理として証明します。外場の結果は引用して使い、重複は避けます。

原論文	内容	本記事
§I (1)–(8)	Euclid 格子理論、OS 正値性 (4)、ゲージ固定関数と時間ゲージ (8)	§2、§3.4
§II.A (9)–(16)	時刻 0 の Hilbert 空間、場の作用素、ゲージ変換 (15)、正規順序 (16)	§4.1
§II.B (17)–(23)、Proposition 1	転送行列の式と正値性の証明	§3、§4.2–4.4
§II.C (24)–(30)、Proposition 2	Schwinger 関数、真空への射影、再構成定理	§5.3–5.5
(31)–(33) と付録 (A1)–(A10)	Grassmann 変数による作用素の核の計算	§5.1–5.2

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