Peter–Weyl の定理：Schur の直交関係、L²(G) の完全分解、ユニタリ表現の有限次元への還元

数学コンパクト群の表現第2章博士・研究有料「本」の章約 65 分2026-10-03

対象読者: 本テーマ第 1 章の Haar 測度と、Hilbert 空間の基礎、コンパクト作用素のスペクトル定理、群の線形表現の初歩を学んだ人。表現論の既約分解は仮定しません。

前提となる記事:Haar 測度：局所コンパクト群の不変積分とモジュラー関数、U(1)・SU(2)・SO(3) の具体形

0. この記事の要点

フーリエ級数は、周期的な関数を $e^{in\theta}$ という基本的な波の重ね合わせに分ける方法でした。円周のように一周して閉じている対称性をもつ群でも、その上の関数を「基本パターン」の重ね合わせに分けられるのでしょうか。この記事は、答えが「はい」であること（ただし基本パターンは一般には数ではなく行列になります）を示す Peter–Weyl の定理を扱います。読み終えると、そうした群の上の関数をどう分解し、その部品どうしがどんな直交関係をもつかを説明できるようになります。

コンパクト群の有限次元表現は（前章のユニタリ化により）ユニタリと仮定してよく、既約表現の直交直和に分解します。既約表現の間の絡作用素（群の作用と両立する線形写像）は $0$ か同型で、自己絡作用素はスカラーです（Schur の補題）。
既約ユニタリ表現の行列要素は Haar 測度について直交し、 $\int_GD^\pi_{ij}(g)\overline{D^\sigma_{kl}(g)}\,dg=\delta_{\pi\sigma}\delta_{ik}\delta_{jl}/d_\pi$ を満たします（Schur の直交関係）。証明は「任意の線形写像を群で平均すると絡作用素になる」の一行です。
Peter–Weyl の定理: 既約表現の行列要素の 1 次結合は $C(G)$ で一様稠密で、 $\{\sqrt{d_\pi}D^\pi_{ij}\}$ は $L^2(G)$ の正規直交基底です。右正則表現は $L^2(G)\cong\bigoplus_{\pi\in\hat G}d_\pi\cdot\pi$ と分解します。
証明の中心は、Haar 測度で作った畳み込み作用素がコンパクト自己共役で右移動と可換なことです。その固有空間は有限次元の不変部分空間になり、そこから行列要素が湧き出します。
同じ考え方で、コンパクト群の任意のユニタリ表現は有限次元既約表現の直交直和に分解し、とくに既約ユニタリ表現はすべて有限次元です。 $\mathbb{R}$ のような非コンパクト群ではこれが崩れます。
発展として、アーベル群 $G$ の指標だけを使った Bohr コンパクト化 $bG=\operatorname{Hom}(\hat G,U(1))$ を構成し、普遍性と、概周期関数の空間 $AP(G)\cong C(bG)$ （ $G=\mathbb{R}$ なら三角多項式の一様閉包）を 7 節で証明します。離散・コンパクトアーベル群の Pontryagin 双対性は Peter–Weyl の系から本文中で示します。

Haar 測度: 群の掛け算で形が変わらない積分の測り方で、コンパクト群では全体の測度を 1 にそろえられます。→ Haar 測度
位相群: 掛け算と逆元をとる操作が連続な群のことです。→ 位相群
既約表現: 群が線形空間に作用していて、その空間に自明でない不変な部分空間がないものです。→ 既約表現
正規直交基底: 長さ 1 で互いに直交するベクトルの族で、空間全体を張るものです。→ 正規直交基底
コンパクト作用素: 有界な集合を、閉包がコンパクトな集合に写す作用素です。→ コンパクト作用素
指標: 群から $U(1)$ への連続な準同型、または表現のトレースです。→ 指標

1. 動機

$U(1)$ 上の関数の Fourier 級数展開 $f(\theta)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\hat f_ne^{in\theta}$ は、表現論の言葉では「 $L^2(U(1))$ が 1 次元既約表現 $e^{in\theta}$ の直和に分解する」という主張です。Peter–Weyl の定理（1927 年）はこれを任意のコンパクト群に拡張します。非可換群では既約表現が多次元になり、Fourier 係数は数ではなく $d_\pi\times d_\pi$ 行列 $\hat f(\pi)=\int f(g)\pi(g)^*\,dg$ になります。

数理物理では、この定理はハミルトニアン形式の格子ゲージ理論の出発点です。リンク 1 本の Hilbert 空間 $L^2(G)$ の「電場基底」 $|r;i,j\rangle\leftrightarrow\sqrt{d_r}D^r_{ij}$ が正規直交基底であること、電場の 2 乗が各ブロックで Casimir 値になることは、命題 2.3［ハミルトニアン格子ゲージ理論と量子シミュレーション］で Peter–Weyl の定理と Schur の直交関係を引用して示しました。この章でその 2 つを証明します。強結合展開で現れる群積分 $\int D^r_{ij}(U)\overline{D^s_{kl}(U)}\,dU$ の計算も、すべて Schur の直交関係に帰着します。