指標と SU(2)・SU(N) の表現：指標の直交性・Weyl の積分公式・Clebsch–Gordan 分解

数学コンパクト群の表現第3章博士・研究有料「本」の章約 47 分2026-10-03

対象読者: 本テーマ第 1〜2 章の Haar 測度と Peter–Weyl の定理、学部の線形代数（行列のトレース、テンソル積）を学んだ人。SU(N) の表現論は仮定しません。

前提となる記事:Peter–Weyl の定理：Schur の直交関係、L²(G) の完全分解、ユニタリ表現の有限次元への還元

0. この記事の要点

回転や行列の対称性をもつ対象を調べるとき、行列そのものを全部追いかけると情報が多すぎます。そこで、行列から数を 1 つだけ取り出す「トレース」に注目すると、表現（対称性を行列で表したもの）の中身が驚くほどよく分かります。この記事では、そのトレースを使って、表現がどんな部品に分かれるかを数える方法を学びます。読み終えると、スピン 2 つを合成したときにどんなスピンが現れるかを、三角関数の計算だけで説明できるようになります。

有限次元ユニタリ表現 $\pi$ の指標 $\chi_\pi(g)=\mathrm{tr}\,\pi(g)$ は類関数（共役で値が変わらない関数）で、既約表現の指標は $L^2(G)$ で正規直交系をなします。表現は指標だけで同値を除いて決まり、重複度（各既約表現が何回含まれるか）は内積 $\langle\chi_\pi,\chi_\rho\rangle$ で読めます。
既約指標 $\{\chi_\pi\}_{\pi\in\hat G}$ は類関数の $L^2$ 空間の正規直交基底です。格子ゲージ理論の Boltzmann 重みの「指標展開」はこの定理の特別な場合です。
$SU(2)$ の既約表現は $2$ 変数の $2j$ 次斉次多項式の空間 $V_j$ （ $j=0,\frac12,1,\dots$ 、次元 $2j+1$ ）で尽くされ、指標は $\chi_j(\theta)=\sin\frac{(2j+1)\theta}{2}\big/\sin\frac{\theta}{2}$ です。
Weyl の積分公式 $\int_{SU(2)}f\,dg=\frac1\pi\int_0^{2\pi}f(t_\theta)\sin^2\frac\theta2\,d\theta$ （ $f$ は類関数）で、指標の直交性が三角関数の直交性に帰着します。
Clebsch–Gordan 分解 $V_{j_1}\otimes V_{j_2}\cong\bigoplus_{j=|j_1-j_2|}^{j_1+j_2}V_j$ は、指標に $\sin\frac\theta2$ を掛けると 1 行で示せます。
$SU(N)$ では基本表現 $F$ 、随伴表現 $\mathrm{Ad}$ と $F\otimes\bar F\cong\mathrm{Ad}\oplus\mathbf 1$ を示し、既約表現が Young 図形（箱を並べた図）で分類されることを述べます。

ユニタリ表現・既約表現: 群の元を内積を保つ行列に対応させる対応付けが表現で、それ以上小さな不変な部分に分けられないものが既約表現です。→ ユニタリ表現
Peter–Weyl の定理と Schur の直交関係: 既約表現の行列成分が $L^2(G)$ の正規直交基底をなす、という前章の結果です。→ Peter–Weyl の定理
正規直交基底: 長さ 1 で互いに直交するベクトル（関数）の組で、空間の任意の元をその線形結合で表せるものです。→ 正規直交系
テンソル積: 2 つの表現の空間から、積の空間 $V\otimes W$ を作る操作です。→ テンソル積
Haar 測度: コンパクト群の上で、群の掛け算で動かしても変わらない確率測度のことで、群上の積分を定めます（第 1 章）。

1. 動機

前章の Peter–Weyl の定理により、コンパクト群 $G$ 上の $L^2$ 関数は既約表現の行列成分で展開できます。しかし物理で現れる関数の多くは、もっと対称性の高い類関数、つまり共役 $g\mapsto hgh^{-1}$ で不変な関数です。Wilson ループ $\mathrm{tr}\,U_{\mathcal C}$ （格子上の閉じた経路に沿ったリンク変数の積のトレース）、プラケット作用 $\mathrm{Re}\,\mathrm{tr}\,U_p$ 、その指数関数 $e^{(\beta/N)\mathrm{Re}\,\mathrm{tr}\,U_p}$ 、ハミルトニアン形式の転送行列の核はすべて類関数です。類関数を展開するには行列成分の全体は多すぎ、各既約表現から 1 つずつ、すなわち指標 $\chi_\pi=\mathrm{tr}\,\pi$ だけで足ります。

指標はもう 1 つの役割を持ちます。表現 $\rho$ を既約成分に分解したいとき、不変部分空間を探す代わりに、関数 $\chi_\rho$ を既約指標で展開すればよいのです。テンソル積の分解（角運動量の合成）、 $F\otimes\bar F$ の分解（メソンの色の 1 重項）、Wilson ループの期待値の選択則は、どれも「指標の積を指標の和に書き直す」計算です。

この章では、まず一般のコンパクト群で指標の直交関係と類関数の展開を示し、それを $SU(2)$ で完全に具体化します。 $SU(2)$ では類関数が $1$ 変数の関数になり、Haar 積分が $1$ 次元の積分（Weyl の積分公式）に落ちるので、直交関係も Clebsch–Gordan 分解も三角関数の計算で確かめられます。最後に $SU(N)$ の基本表現・随伴表現を扱い、一般の既約表現の分類（Young 図形）を述べます。次章の Casimir 作用素と群上のラプラシアンでは、ここで分類した表現の上で Casimir 作用素の値を計算します。