コンパクト群の表現

数学博士・研究無料 0 章有料 5 章

Haar 測度、Peter–Weyl の定理、指標、SU(2) と SU(N) の表現、Casimir 作用素と群上のラプラシアン、格子ゲージ理論で使う群積分の公式までを扱う。

想定読者: 研究者・博士課程以上（数理物理）

前提テーマ:関数解析と作用素論、多様体論、代数学（群・環・体）、Lie 群と Lie 環の表現論

このテーマの 100 本ノック（50 問）

目次

1. 第 1 章Haar 測度本局所コンパクト群の左 Haar 測度を定義して一意性を証明し、モジュラー関数を導入して、コンパクト群では両側・反転不変な確率測度になることを示す。U(1)・SU(2)・SO(3) の Euler 角表示まで具体的に求める。
2. 第 2 章Peter–Weyl の定理本コンパクト群の有限次元ユニタリ表現について Schur の補題と直交関係を証明し、コンパクト作用素のスペクトル定理を使って Peter–Weyl の定理（行列要素の完全性と L²(G) の分解）を示す。任意のユニタリ表現が有限次元既約表現の直和になることも導く。
3. 第 3 章指標と SU(2)・SU(N) の表現本コンパクト群の指標の直交関係と類関数の指標展開を示し、SU(2) の既約表現を斉次多項式で構成して指標公式と Weyl の積分公式を導く。Clebsch–Gordan 分解を指標で証明し、SU(N) の基本・随伴表現と Young 図形に触れる。
4. 第 4 章Casimir 作用素と群上のラプラシアン本普遍包絡環の 2 次 Casimir 元を定義して既約表現上でスカラーになることを示し、SU(2) と SU(N) の値を計算する。両側不変計量のラプラシアンが Peter–Weyl 分解の各成分で Casimir 値になることを示し、色電場 E² と熱核の指標展開に応用する。
5. 第 5 章格子ゲージ理論で使う群積分の公式本SU(N) の Haar 積分の 1・2・3 次モーメントを不変ベクトルへの射影として導き、Weingarten 関数を述べる。Wilson 重みの指標展開と係数の強結合での振る舞い、2 次元格子ゲージ理論の厳密解と面積則、強結合展開の図形的な数え方を示す。

「コンパクト群の表現」は 1 冊の本としてまとめています。無料章を読んで続きが気になったら、本の一覧からどうぞ。