Gawędzki–Kupiainen『Massless lattice φ⁴₄ theory』(1985) 第 2 部：有効相互作用の一般形と揺らぎ積分のクラスター展開

0. この記事の要点

• くりこみ群の 1 段は「細かいゆらぎを積分して、粗い場だけの重みを作り直す」操作です。本章は、作り直した重みが毎回同じ型をもつことを示します。型が保たれれば、あとは型の中の数（結合定数や核）の大きさを追えばよく、それが第 3・4 部の仕事です。本章は K. Gawędzki と A. Kupiainen の論文の §4–§5 を読みます。
• 型（一般形）は二つの部分からなります。場が小さい領域（小場）では、有効相互作用 $V^n$ は場について帯の上で解析的な汎関数で、質量項・Wick 項・結合定数 $\lambda_n$ の局所 4 次項と、無関連な非局所項に分かれます（原論文 (4.1)–(4.6)）。場が大きい領域 $D$（大場）では $V^n$ そのものではなく Boltzmann 因子を、$D$ を含むかたまりごとの関数 $g^D_X$ の積で表します（(4.8)）。
• 1 段の揺らぎ積分を、揺らぎの大きさによる単位の分割、揺らぎ場の結合を切る補間公式、ポリマー系への書き直し、ポリマー気体の指数化、大場のまわりの部分 Mayer 展開の順に変形し、$V^{n+1}$ が同じ一般形をもつことを示します（(5.1)–(5.53)）。
• 原論文が証明を先行論文に委ねた関係式 (4.16)（大場の領域を小さく取り替えたときの $g^D_X$ の関係）と、読者への演習とした「(4.16) が $n+1$ でも成り立つこと」を、「局所的な合計」の一意性という見方で完全に証明します。
• この部は恒等式と解析性だけを扱います。和の絶対収束と、指数化に使う Kotecký–Preiss の条件は仮定 (A)・(K) として明示します。その成立は第 3 部（系 7.6［Gawędzki–Kupiainen『Massless lattice φ⁴₄ theory』(1985) 第 3 部］）と第 4 部（命題 3.5［Gawędzki–Kupiainen『Massless lattice φ⁴₄ theory』(1985) 第 4 部］）の評価で示されます。

1. 動機

細かい格子の上の場を少しだけ粗く見る操作を何度も繰り返すと、そのたびに「粗い場の重み」が新しく計算されます。この重みの形が段ごとにばらばらだと、繰り返しを数学的に追うことはできません。そこで、重みが毎回同じ形の中に収まることをまず示し、そのうえで形の中のいくつかの数の大きさを段ごとに追う、という二段構えをとります。本章はその前半、形が保たれることの証明です。

場の理論の言葉で言い直します。第 1 部 の 定理 3.7［Gawędzki–Kupiainen『Massless lattice φ⁴₄ theory』(1985) 第 1 部］ は、段 $n$ の有効相互作用 $V^n$ から段 $n+1$ の $V^{n+1}$ を、揺らぎ場 $\mathcal Z=\mathcal M_nZ$ の Gauss 積分

$$e^{-V^{n+1}(\psi')}\ \propto\ e^{\frac12(1-\zeta)\int(\partial\psi')^2}\int\exp\bigl[-V^n(L^{-1}\zeta^{1/2}\psi'_{\cdot/L}+\mathcal M_nZ)\bigr]\,\mathrm d\mu_{\mathbf 1}(Z)$$

で与えます（原論文 (2.39)）。第 1 部 §6 はこの積分を $\lambda$ について 2 次まで計算しました。その打ち切りを正当化するには、次の三つの困難を同時に扱わなければなりません。

1. 局所性。 揺らぎ場の核 $\mathcal M_n$ は指数減衰するだけで台が有限ではないので、積分は遠く離れた点の場を結び付けます。そこで空間を一辺 $L^{N_0}$ のブロックに分け、揺らぎ場の結合を補間パラメータ $s$ で切って、ブロックの集まり（ポリマー）ごとの寄与に分けます。これは クラスター展開 の一種です。
2. 小場での解析性。 結合定数 $\lambda$ についての摂動級数は収束しませんが、場の変数については帯 $|\mathrm{Im}\,\psi|\lesssim\lambda^{-1/4}$ で解析的であることを保てます。そうすれば $\psi=0$ のまわりの Taylor 係数を Cauchy 評価で抑えられます。そのために、小場の空間 $\mathscr H(X)$ を複素の場の集合として定めます。
3. 大場。 揺らぎ $Z$ や場 $\psi$ が大きくなる領域では $V^n$ は小さくなく、解析性も保てません。そこでは Boltzmann 因子 $e^{-V^n}$ を、大場の領域 $D$ ごとに部分的に足し直した関数 $g^D_X$ で表し、その安定性評価だけを帰納法で保ちます（評価は第 3・4 部）。

この部の結論は、一般形 定義 3.5 が 1 段のくりこみ群変換で再現されるという 定理 5.6 です。原論文の式と本章の環境の対応は次のとおりです。

原論文	本章
(4.1)	定義 2.1、定義 2.2、定義 2.5
(4.2)–(4.6)	定義 3.1
(4.7)–(4.9)	命題 3.4
(4.10)–(4.15)	定義 2.6、補題 2.7、補題 2.8
(4.16)	定義 3.5、命題 3.7
(5.1)–(5.8)	補題 4.2、補題 4.4
(5.11)–(5.19)	定義 4.5、補題 4.6
(5.20)–(5.22)	定理 4.7
(5.9)–(5.10)、(5.23)–(5.26)	定義 4.9、定理 4.11
(5.27)–(5.28)	定理 5.1
(5.29)–(5.31)	命題 5.2
(5.32)–(5.40)	定理 5.3
(5.41)–(5.43)	命題 5.4
(5.44)–(5.53)、§5 末の演習	定理 5.6、命題 5.7

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