# Gawędzki–Kupiainen『Massless lattice φ⁴₄ theory』(1985) 第 2 部：有効相互作用の一般形と揺らぎ積分のクラスター展開

> 大場・小場に分けた有効相互作用の一般形を定め、揺らぎ場の単位の分割・補間公式・ポリマー表示・指数化・部分 Mayer 展開によって、その形が 1 段のブロックスピン変換で再現されること（原論文 §4–§5）を恒等式として証明する。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/constructive-papers/gawedzki-kupiainen-1985-part-2

## 0. この記事の要点

- くりこみ群の 1 段は「細かいゆらぎを積分して、粗い場だけの重みを作り直す」操作です。本章は、作り直した重みが毎回同じ**型**をもつことを示します。型が保たれれば、あとは型の中の数（結合定数や核）の大きさを追えばよく、それが第 3・4 部の仕事です。本章は K. Gawędzki と A. Kupiainen の論文の §4–§5 を読みます。
- 型（**一般形**）は二つの部分からなります。場が小さい領域（**小場**）では、有効相互作用 $V^n$ は場について帯の上で解析的な汎関数で、質量項・Wick 項・結合定数 $\lambda_n$ の局所 4 次項と、無関連な非局所項に分かれます（原論文 (4.1)–(4.6)）。場が大きい領域 $D$（**大場**）では $V^n$ そのものではなく Boltzmann 因子を、$D$ を含むかたまりごとの関数 $g^D_X$ の積で表します（(4.8)）。
- 1 段の揺らぎ積分を、揺らぎの大きさによる単位の分割、揺らぎ場の結合を切る補間公式、ポリマー系への書き直し、ポリマー気体の指数化、大場のまわりの部分 Mayer 展開の順に変形し、$V^{n+1}$ が同じ一般形をもつことを示します（(5.1)–(5.53)）。
- 原論文が証明を先行論文に委ねた関係式 (4.16)（大場の領域を小さく取り替えたときの $g^D_X$ の関係）と、読者への演習とした「(4.16) が $n+1$ でも成り立つこと」を、「局所的な合計」の一意性という見方で完全に証明します。
- この部は恒等式と解析性だけを扱います。和の絶対収束と、指数化に使う Kotecký–Preiss の条件は仮定 (A)・(K) として明示します。その成立は第 3 部（<Ref to="physics/constructive-papers/gawedzki-kupiainen-1985-part-3#cor-gk-convergence-small-field" />）と第 4 部（<Ref to="physics/constructive-papers/gawedzki-kupiainen-1985-part-4#prop-gk-large-field-activity" />）の評価で示されます。

## 1. 動機

細かい格子の上の場を少しだけ粗く見る操作を何度も繰り返すと、そのたびに「粗い場の重み」が新しく計算されます。この重みの形が段ごとにばらばらだと、繰り返しを数学的に追うことはできません。そこで、重みが毎回同じ形の中に収まることをまず示し、そのうえで形の中のいくつかの数の大きさを段ごとに追う、という二段構えをとります。本章はその前半、形が保たれることの証明です。

場の理論の言葉で言い直します。[第 1 部](/physics/constructive-papers/gawedzki-kupiainen-1985-part-1) の <Ref to="physics/constructive-papers/gawedzki-kupiainen-1985-part-1#thm-gk-one-step-recursion" /> は、段 $n$ の有効相互作用 $V^n$ から段 $n+1$ の $V^{n+1}$ を、揺らぎ場 $\mathcal Z=\mathcal M_nZ$ の Gauss 積分
$$
e^{-V^{n+1}(\psi')}\ \propto\ e^{\frac12(1-\zeta)\int(\partial\psi')^2}\int\exp\bigl[-V^n(L^{-1}\zeta^{1/2}\psi'_{\cdot/L}+\mathcal M_nZ)\bigr]\,\mathrm d\mu_{\mathbf 1}(Z)
$$
で与えます（原論文 (2.39)）。第 1 部 §6 はこの積分を $\lambda$ について 2 次まで計算しました。その打ち切りを正当化するには、次の三つの困難を同時に扱わなければなりません。

1. **局所性。** 揺らぎ場の核 $\mathcal M_n$ は指数減衰するだけで台が有限ではないので、積分は遠く離れた点の場を結び付けます。そこで空間を一辺 $L^{N_0}$ のブロックに分け、揺らぎ場の結合を補間パラメータ $s$ で切って、ブロックの集まり（ポリマー）ごとの寄与に分けます。これは [クラスター展開](/physics/constructive-qft/cluster-expansion#def-polymer-system) の一種です。
2. **小場での解析性。** 結合定数 $\lambda$ についての摂動級数は収束しませんが、場の変数については帯 $|\mathrm{Im}\,\psi|\lesssim\lambda^{-1/4}$ で解析的であることを保てます。そうすれば $\psi=0$ のまわりの Taylor 係数を Cauchy 評価で抑えられます。そのために、小場の空間 $\mathscr H(X)$ を複素の場の集合として定めます。
3. **大場。** 揺らぎ $Z$ や場 $\psi$ が大きくなる領域では $V^n$ は小さくなく、解析性も保てません。そこでは Boltzmann 因子 $e^{-V^n}$ を、大場の領域 $D$ ごとに部分的に足し直した関数 $g^D_X$ で表し、その安定性評価だけを帰納法で保ちます（評価は第 3・4 部）。

この部の結論は、一般形 <Ref to="def-gk-general-form" /> が 1 段のくりこみ群変換で再現されるという <Ref to="thm-gk-form-reproduction" /> です。原論文の式と本章の環境の対応は次のとおりです。

| 原論文 | 本章 |
|---|---|
| (4.1) | <Ref to="def-gk-paved-set" />、<Ref to="def-gk-connected-wrt" />、<Ref to="def-gk-small-field-space" /> |
| (4.2)–(4.6) | <Ref to="def-gk-effective-interaction-form" /> |
| (4.7)–(4.9) | <Ref to="prop-gk-mayer-resummation" /> |
| (4.10)–(4.15) | <Ref to="def-gk-large-field-region" />、<Ref to="lem-gk-large-field-domain" />、<Ref to="lem-gk-large-field-outside-small" /> |
| (4.16) | <Ref to="def-gk-general-form" />、<Ref to="prop-gk-g-consistency" /> |
| (5.1)–(5.8) | <Ref to="lem-gk-cutoff-support" />、<Ref to="lem-gk-field-after-partition" /> |
| (5.11)–(5.19) | <Ref to="def-gk-interpolated-fluctuation" />、<Ref to="lem-gk-interpolated-field-bounds" /> |
| (5.20)–(5.22) | <Ref to="thm-gk-interpolation-formula" /> |
| (5.9)–(5.10)、(5.23)–(5.26) | <Ref to="def-gk-polymer-activity" />、<Ref to="thm-gk-polymer-representation" /> |
| (5.27)–(5.28) | <Ref to="thm-gk-exponentiation" /> |
| (5.29)–(5.31) | <Ref to="prop-gk-quartic-split" /> |
| (5.32)–(5.40) | <Ref to="thm-gk-large-field-representation" /> |
| (5.41)–(5.43) | <Ref to="prop-gk-quadratic-rearrangement" /> |
| (5.44)–(5.53)、§5 末の演習 | <Ref to="thm-gk-form-reproduction" />、<Ref to="prop-gk-g-consistency-next" /> |

（この章の続きは購入者向けです。）