格子スカラー場：φ⁴ 理論の κ・λ パラメータ、格子摂動論、hopping parameter 展開

物理学格子場の理論第3章博士・研究有料「本」の章約 48 分2026-10-03

対象読者: 本テーマ第 1〜2 章の転送行列と反射正値性、および学部レベルの Fourier 変換と Gauss 積分を学んだ人。場の量子論の摂動論は、この章で必要な分を説明します。

前提となる記事:反射正値性と格子からの Hilbert 空間の再構成：転送行列の正値性を測度の性質として読む

0. この記事の要点

空間と時間を細かい碁盤の目に区切り、その各交点に 1 つずつ数を置くと、粒子の理論を「たくさんの数の統計」として扱えます。この記事は、そのいちばん簡単な例を、2 つのパラメータ（隣り合う点の結びつきの強さと、自己相互作用の強さ）で書き表す方法の話です。読み終えると、碁盤の目の上の粒子が連続な世界の粒子とどこで同じでどこが違うか、結びつきが弱いときに答えをどう数え上げるか、結びつきを強めると磁石のような相転移が起きること、を説明できるようになります。

格子 $\phi^4$ 理論の作用は、無次元の場 $\phi$ について $S=\sum_x\bigl[-2\kappa\sum_\mu\phi(x)\phi(x+a\hat\mu)+\phi(x)^2+\lambda(\phi(x)^2-1)^2\bigr]$ と書けます。連続理論の素朴な離散化とは $a^2m_0^2=(1-2\lambda)/\kappa-2d$ 、 $a^{4-d}g_0=6\lambda/\kappa^2$ で 1 対 1 に対応します（命題 3.2）。
自由場の伝播関数は $(\hat p^2+m_0^2)^{-1}$ 、 $\hat p_\mu=(2/a)\sin(ap_\mu/2)$ で、時間方向に積分すると厳密に $e^{-\omega|t|}$ で減衰します。分散関係は $\cosh(a\omega)=1+\tfrac{a^2}{2}(m_0^2+\hat{\boldsymbol p}^2)$ です（命題 4.2）。
格子摂動論のファインマン則は連続理論とほぼ同じで、違いは運動量が Brillouin 域に限られ、保存則が $2\pi/a$ を法として成り立つことです。1 ループの質量シフトは $a^{-2}$ に比例し、臨界線の位置をずらします。
超立方群で不変な次元 4 以下の局所演算子は自動的に O(4) 不変です（命題 5.5）。回転対称性の破れは $O(a^2)$ の補正としてしか残りません。
$\kappa=0$ では各格子点が独立になり、そのまわりで展開したものが hopping parameter 展開（高温展開）です。2 点関数の低次項は 1 点モーメント $\gamma_k$ と格子上の歩道の数で決まります（定理 6.6）。
$\lambda\to\infty$ で場は $\pm1$ に制限され、模型は Ising 模型になります（命題 7.1）。 $d\ge2$ では有限の $\kappa_c$ で $\mathbb{Z}_2$ 対称性（ $\phi\mapsto-\phi$ の符号反転に対する不変性）が自発的に破れます。

反射正値性: 時間反転で折り返した配位との内積が 0 以上になる、という測度の性質で、転送行列の正値性の源です。→ 反射正値性
分配関数: 作用の指数 $e^{-S}$ を全配位について足し合わせた（積分した）量 $Z$ で、期待値の分母になります。→ 分配関数
Fourier 変換: 関数を平面波 $e^{ip\cdot x}$ の重ね合わせで書き直すこと。格子上では $p$ の動く範囲が有限になります。
Gauss 積分: $e^{-(二次式)}$ の積分で、指数の二次形式の行列の逆行列が 2 点相関（共分散）を与えます。
Wick の定理: Gauss 測度での多点関数が、2 点関数の組合せ（縮約）の和で書けるという規則です。

1. 動機

格子正則化の目的は、摂動論に頼らずに場の理論を定義し、計算することです。最も簡単な相互作用する理論が 1 成分の $\phi^4$ 理論であり、格子場の理論の道具（転送行列、相関距離、臨界点、連続極限、くりこまれた量の定義）はほぼすべてこの模型で一度試せます。標準模型の Higgs 場も、ゲージ場と湯川結合を切れば 4 成分の $\phi^4$ 理論です。

連続理論の作用 $\int\bigl[\tfrac12(\partial\phi_0)^2+\tfrac12m_0^2\phi_0^2+\tfrac{g_0}{4!}\phi_0^4\bigr]$ を素朴に離散化すると、パラメータは $(am_0)^2$ と $g_0$ になります。しかし非摂動的な計算では、別のパラメータ付けの方が便利です。隣接点を結ぶ項の係数 $\kappa$ （hopping parameter）を前面に出すと、 $\kappa=0$ が「各点が独立な可解な極限」になり、そこからの展開が組めます。また $\lambda\to\infty$ が素直に Ising 模型になります。統計力学の言葉では、 $\kappa$ は逆温度に当たり、 $\kappa$ の小さい側が高温（無秩序）相です。

この章ではまず両パラメータ付けの辞書を作り、自由場と摂動論で「格子の上の粒子」がどう見えるかを確認します。次に、 $\kappa$ についての展開と Ising 極限で非摂動的な側から相構造を眺めます。ここで準備した量（感受率 $\chi_2$ 、2 次モーメント $\mu_2$ ）は、次章でくりこまれた質量・結合を定義し、4 次元の自明性を論じるときの出発点になります。Euclid 経路積分と転送行列の一般論は Euclid 経路積分と転送行列と反射正値性を前提とします。