# 格子 Dirac 作用素のスペクトル：Lichnerowicz 型公式・Wegner 評価・Vafa–Witten の定理
> γ5 エルミート性によるスペクトルの対称性から始め、格子 Dirac 作用素の 2 乗の Lichnerowicz 型公式と許容ゲージ場での Wilson 作用素のギャップ、ランダムな格子作用素の Wegner 評価、ベクトル的対称性の自発的破れを禁じる Vafa–Witten の定理を証明する。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/lattice-field-theory/lattice-dirac-spectrum
## 0. この記事の要点
クォークが格子の上を動く様子は、格子 Dirac 作用素という大きな行列で決まります。この記事では、その行列の固有値がどんな性質をもつかを調べます。固有値が正負の対になること、ゲージ場が滑らかなら固有値が 0 から離れていること、ランダムさを入れても 0 の近くに固有値が溜まりにくいことを順に示します。読み終えると、数値計算が不安定になる理由と、ある種の対称性が自発的に破れない理由を、固有値の言葉で説明できるようになります。
- [素朴な格子 Dirac 作用素](/physics/lattice-field-theory/lattice-fermions#def-naive-lattice-dirac)と staggered 作用素は反エルミートで、$\gamma_5$ や $\varepsilon(x)=(-1)^{\sum n_\mu}$ と反可換なので、固有値は $\pm i\lambda$ の対で現れ、$m\gt0$ で $\det(D+m)\gt0$ です。Wilson 作用素は反エルミートではありませんが $\gamma_5$-エルミートで、$H_{\mathrm W}=\gamma_5(D_{\mathrm W}+m)$ がエルミートになります。
- 格子 Dirac 作用素の 2 乗は「共変 Laplacian + $\gamma_\mu\gamma_\nu\times$ 場の強さ」の形に書けます（Lichnerowicz 型公式）。場の強さの項はプラケット（格子の最小の正方形を 1 周するリンク変数の積）の $1$ からのずれ $\epsilon=\max\|1-U_{\mu\nu}\|$ で抑えられ、4 次元・$r=1$ では $H_{\mathrm W}^2\ge1-42\epsilon$（$m=-1$）が得られます。これは [overlap 演算子](/physics/lattice-field-theory/ginsparg-wilson#def-overlap)が定義でき局所的であるための入口です。
- ランダムな対角項をもつ $N$ 次元のエルミート作用素 $H_0+\sum_jv_j|\varphi_j\rangle\langle\varphi_j|$ について、区間 $I$ の固有値の個数の期待値は $4\rho_{\max}|I|N$ 以下です（Wegner 評価）。証明は階数 1 の摂動に対するスペクトル平均だけで済みます。2 つ以上の固有値が入る確率を抑える Minami 評価は主張として述べます。
- 反エルミートな局所的 Dirac 作用素では、ゲージ場によらず $\|(D+m)^{-1}\|\le1/m$ で、伝播関数は一様に指数減衰します（Combes–Thomas 評価）。ここから、正の測度をもつベクトル的なゲージ理論ではアイソスピンのようなベクトル的対称性が自発的に破れないこと（Vafa–Witten）が、格子上で厳密に従います。
- Wilson フェルミオンではこの一様評価が成り立たず、$H_{\mathrm W}$ の零付近のスペクトル密度 $\rho_{H}(0)$ がパリティ・フレーバーを破る凝縮 $2\pi\rho_H(0)$ を与え得ます（Aoki 相）。
## 1. 動機
格子 QCD の分配関数は $\int dU\,e^{-S_G}\det(D+m)^{N_f}$ で、物理はほとんどすべて格子 Dirac 作用素 $D$ のスペクトルに入っています。カイラル凝縮は零付近の固有値密度で決まり（Banks–Casher）、数値計算のコストは最小固有値で決まり、overlap 演算子が定義できるかどうかは $H_{\mathrm W}$ が $0$ の近くに固有値をもたないかどうかで決まります（[Ginsparg–Wilson 関係と overlap](/physics/lattice-field-theory/ginsparg-wilson)）。
本章では、このスペクトルについて証明できる 3 種類の主張を扱います。1 つ目は代数的なもので、$\gamma_5$-エルミート性とカイラル対称性からスペクトルの対称性と行列式の正値性が出ます。2 つ目は幾何的なもので、連続理論の Lichnerowicz 公式（