# 反射正値性と格子からの Hilbert 空間の再構成：転送行列の正値性を測度の性質として読む
> 格子上の時間反射とサイト反射・リンク反射の反射正値性を定義し、最近接相互作用のスカラー場で証明する。そこから物理的 Hilbert 空間と自己共役な転送行列を再構成し、チェッカーボード評価と有効質量の単調性を導き、改良作用で反射正値性が壊れる例を示す。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/lattice-field-theory/reflection-positivity-lattice
## 0. この記事の要点
時間を逆向きにたどった「鏡像」の観測量と、元の観測量との相関が、つねに 0 以上になる。この記事では、その条件（反射正値性）だけから、量子力学の状態の空間とエネルギー（ハミルトニアン）を組み立てられることを見ます。作用の具体形が分からず、相関関数のデータしか手元にないときでも、それが量子論に対応するかを調べる足がかりになります。
- 格子の時間反射には、格子点を含む面での**サイト反射** $\theta_s:t\mapsto-t$ と、リンクを横切る面での**リンク反射** $\theta_l:t\mapsto1-t$ の 2 種類があります。測度 $\mu$ が反射正値であるとは、正の時刻の場にだけ依存する $F$ について $\langle\Theta F\cdot F\rangle_\mu\ge0$ が成り立つことです。
- 時間方向に最近接の結合 $-J\sum\Phi_{t+1}\cdot\Phi_t$ しかもたない格子スカラー場は、**サイト反射正値性を $J$ の符号によらず**、**リンク反射正値性を $J\ge0$ のときに**満たします。$J<0$（反強磁性的な時間結合）ではリンク反射正値性が破れます。
- リンク反射正値な測度からは、商と完備化によって物理的 [Hilbert 空間](/mathematics/functional-analysis/hilbert-spaces#def-hilbert-space) $\mathcal{H}$ が作られ、時間並進が $\|\hat T\|\le1$ の自己共役作用素 $\hat T$ を誘導します。サイト反射正値性も成り立てば $\hat T\ge0$ で、ハミルトニアン $H=-\log\hat T\ge0$ が定まります。これが Osterwalder–Schrader 再構成の格子版で、前章の転送行列 $T/\lambda_0$ がそのまま再現されます。
- 反射正値性からは、Cauchy–Schwarz 不等式、相関関数の対数凸性（**有効質量は距離とともに単調に減少する**。有効質量とは、相関関数が 1 ステップ離れるごとに減る割合の対数から読む、質量の見積もりです）、チェッカーボード評価が従います。
- 時間方向に次近接の項をもつ改良作用では、相関関数に負の重みの指数項（ゴースト。ノルムが負の状態に対応します）が現れ、反射正値性が壊れます。
## 1. 動機
前章 [Euclid 経路積分と転送行列](/physics/lattice-field-theory/euclidean-path-integral) では、作用が具体的に与えられた系で転送行列 $T$ を積分核として書き下し、$T$ が正であることを確かめました（