# Brydges–Fröhlich–Seiler『On the construction of quantized gauge fields I』(1979) 第 3 部：ゲージ不変性と OS 正値性のゲージ非依存性、Ginibre 型相関不等式
> BFS (1979) の §5–§6 をプレプリント版と照合して精読し、紫外切断つきのゲージ不変性とゲージ固定の恒等式、ゲージ不変量の OS 正値性のゲージ非依存性、アーベル Higgs 模型の Ginibre 型相関不等式と共分散・体積・電荷についての単調性を証明する。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/constructive-papers/brydges-frohlich-seiler-1979-part-3
## 0. この記事の要点
- 電磁場のような「ゲージ場」を含む理論では、計算の便宜のために「ゲージ」を選びます。選び方は無数にあり、物理的な答えはその選び方によらないはずです。D. Brydges、J. Fröhlich、E. Seiler の 1979 年の論文の §5 は、格子の上でこの「ゲージによらない」ことを、紫外切断を入れたままの正確な恒等式として証明しました。§6 は、電荷をもつスカラー場（Higgs 場）と電磁場の模型に、強磁性体の理論でおなじみの相関不等式を拡張しました。本章はこの §5–§6 を、IHES のプレプリント版（P/78/237）と照合しながら読みます。
- **ゲージ不変性とゲージ固定**（(5.1)–(5.15)、Theorem 5.1）：ゲージ場に紫外切断 $A_\kappa=h_\kappa*A$ を入れても、切断がゲージ変換と可換なので分配関数のゲージ不変性は保たれます。ゲージ場が Gauss 測度に従う模型では、共分散に「純ゲージの項」$e^{-2}\nabla F\nabla^{\mathsf T}$ を足しても（$F$ は不定符号でよい）、ゲージ不変量の期待値は変わりません。微分すると Ward 恒等式の総和版 (5.15) になります。
- **OS 正値性のゲージ非依存性**（Lemma 5.2、Theorem 5.3、Corollary 5.4）：反射面をまたぐ重みが正型関数であれば、Bochner の定理でそれを $\int Y_p\,\theta[Y_p]\,d\nu(p)$ の形に分解でき、Wilson・Polyakov–Villain・Gauss のどのゲージ場作用でも OS 正値性が出ます。紫外切断は反射面に垂直な方向に効かないこと（条件 (5.21)）が要ります。ゲージ不変量に限れば、OS 正値性はどのゲージでも成り立ちます。
- **Ginibre 型の相関不等式**（Theorem 6.1）：Gauss 型のゲージ場と結合したアーベル Higgs 模型で、$\langle P(r)\cos(n\cdot\theta+A(f));\,Q(r)\cos(m\cdot\theta+A(g))\rangle\ge0$ が成り立ちます。証明は Ginibre の複製変数の方法で、和差の変数 $(\rho,\lambda)$、$(\varepsilon,\delta)$、$(\alpha,\beta)$ に移ると被積分関数が「同じ関数の 2 乗の正係数和」になる、という一点に尽きます。
- **単調性**（Theorem 6.2、Corollary 6.3、(6.26)）：同じ方法で $e^{\pm r^2(g)}$ と $\lvert A(h)\rvert^2$ や $r_xr_y\cos(\cdots)$ との切断相関の符号が決まり、そこから $\langle e^{r^2(g)}e^{iA(f)}\rangle$ がゲージ場の共分散について減少・体積について増加すること、とくに電荷 $e$ を入れると $\langle e^{r^2(g)}\rangle$ が下がることが出ます。
- 原論文から直した点：(i) (5.9) の共分散に因子 $e^{-2}$ を補います。(ii) Theorem 6.1 の証明 (6.19)–(6.21) の三角関数の展開を、「$(\varepsilon,\alpha)$ と $(\delta,\beta)$ の積分は同じ値になる」という観察に置き換えて簡潔にし、Theorem 6.2 (1)(2) も (6.24) の極限を経ずに直接示します。(iii) Corollary 6.3 の証明は文献 [35] に委ねられているので、共分散の微分公式を補題として立てて証明します。(iv) (5.26)–(5.28) は論文自身が予想や続編に委ねているので、定理にせず注意にまとめます。
## 1. 動機
格子ゲージ理論で場の量子論を構成するとき、計算の途中でゲージを選ぶことは避けられません。Gauss 型のゲージ場の作用 (G) はゲージ不変でない質量項 $m_A^2A^2$ を含みますし、連続極限の評価に都合のよい共分散（運動量空間で $(k^2+m_A^2)^{-1}$ に比例する Feynman ゲージ型）と、物理的に自然な共分散（ユニタリゲージ）は異なります。著者らの続編（論文 II）は 2 次元のアーベル Higgs 模型の連続極限を、冪の数え方のよいゲージで構成し、その結果をユニタリゲージのものと同一視します。その同一視を厳密に保証するのが本章の Theorem 5.1 です。
同じことは Osterwalder–Schrader（OS）正値性についてもいえます。OS 正値性は Euclid 場の理論から Hilbert 空間と正のハミルトニアンを再構成するための条件で（[反射正値性](/physics/lattice-field-theory/reflection-positivity-lattice) を参照）、格子ではゲージ場の作用ごとに確かめる必要があります。本論文の第 1 部の