# Gawędzki–Kupiainen『Massless lattice φ⁴₄ theory』(1985) 第 4 部：帰納的評価 II — 大場の評価、質量と波動関数のくりこみ、熱力学極限と赤外漸近自由性

> 場が大きい領域での安定性評価が 1 段のくりこみ群変換で保たれること、2 次項から質量と波動関数のくりこみを Gleason 型の補題で取り出すことを示し、第 1〜3 部と合わせて臨界質量の存在と赤外漸近自由性（原論文 §10–§12、Appendix 2）を証明する。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/constructive-papers/gawedzki-kupiainen-1985-part-4

## 0. この記事の要点

- 格子の上の場を少しずつ粗く見ていく操作を無限に繰り返しても、場どうしの相互作用の強さが発散せず、むしろゆっくり $0$ に近づいていくことを最後まで示します。これが「赤外漸近自由性」で、K. Gawędzki と A. Kupiainen の 1985 年の論文の主結果です。本章は論文の §10–§12 と Appendix 2 を読みます。
- 場が大きい領域（**大場**）では相互作用は小さくありません。そこでは重み（Boltzmann 因子）が $\exp[C_2\cdot(\text{体積})-\lambda^{1/2}\!\int|\psi|^2]$ の形で抑えられること（原論文 (6.5)）だけを保ちます。定数 $C_2$ は 1 段ごとに $L^4$ 倍に増えようとしますが、「場が大きい領域では $\int|\psi|^2$ も大きい」という評価（<Ref to="thm-gk-large-field-l2-lower-bound" />）で増加分を打ち消します（<Ref to="thm-gk-large-field-bound-iterates" />）。
- 場の 2 次の項からは、運動量 $0$ の部分（質量の変化 $\delta m^2$）と $p^2$ の部分（運動項の係数の変化 $\delta c$、波動関数くりこみ $\zeta$）を取り出します。道具は、帯で解析的な周期関数を $\prod(e^{-\mathrm ip_\mu}-1)$ で割る Gleason 型の補題（<Ref to="thm-gk-gleason-lemma" />）です。$|\zeta-1|$、$|\delta m^2|$ は $(n_0+n)^{-7/4}$ 程度です（<Ref to="thm-gk-mass-wavefunction-renormalization" />）。
- 質量は 1 段ごとに $L^2$ 倍に拡大する関連な変数なので、初期値 $m_0^2$ を 1 点に調整します。入れ子の閉区間の共通部分として**臨界質量**が得られ（<Ref to="thm-gk-critical-mass" />）、そこで有効相互作用は $V^n(\mathcal A_n\phi)=O(1/(n_0+n))\to0$ を満たします（<Ref to="thm-gk-infrared-asymptotic-freedom" />）。
- 原論文が「同様に」「容易に」と書いた段は補いました。小場の評価（第 3 部）と核の評価（第 1 部）に依存する箇所は、使う主張を <Ref to="def-gk-small-field-output" /> に列挙し、それぞれが第 1・3 部のどの定理であるかを <Ref to="prop-gk-small-field-output-holds" /> で示します。1 段の帰納法（Main Technical Result）も第 3 部の定理なので（<Ref to="prop-gk-mtr-holds" />）、主結果が仮定するのは定数の選び方についての条件 (Z)（<Ref to="def-gk-rg-hypothesis" />）だけです。原論文と違う証明をとった箇所は <Ref to="rem-gk-part4-differences" /> にまとめます。

## 1. 動機

顕微鏡の倍率を少しずつ下げながら物質を見ていくと、細かい構造は平均されて消え、残るのは少数の量だけになります。臨界点にある 4 次元の $\phi^4$ 模型では、残る量は「場どうしがどれだけ強く相互作用するか」を表す 1 つの数 $\lambda$ で、倍率を 1 段下げるごとに $\lambda$ はほんの少しずつ小さくなると期待されます。本章は、この期待を数学の定理にする最後の部分です。

場の理論の言葉で言い直します。[第 1 部](/physics/constructive-papers/gawedzki-kupiainen-1985-part-1) は [ブロックスピン変換](/physics/constructive-qft/rigorous-renormalization-group#def-block-spin) の枠組みと、2 次の摂動計算による漸化式 $\lambda_{n+1}=\lambda_n-\alpha\lambda_n^2+\cdots$ を与えました。[第 2 部](/physics/constructive-papers/gawedzki-kupiainen-1985-part-2) は、段 $n$ の有効相互作用 $V^n$ が毎回同じ「一般形」をもつことを恒等式として示し、[第 3 部](/physics/constructive-papers/gawedzki-kupiainen-1985-part-3) は一般形の中の量の大きさ（帰納的評価、原論文 (6.1)–(6.5)）を定めて小場の部分を扱います。残っているのは次の三つです。

1. **大場の評価の反復（原論文 §10）。** 大場の領域 $D$ では、Boltzmann 因子を表す関数 $g^D_X$ の上界 (6.5) だけを保ちます。1 段のくりこみ群変換のあとの新しい $g'^{D'}_X$ は、古い $g$ の積を揺らぎ場で積分したものなので、指数の中の定数 $C_2|D\cap X|$ は、段 $n+1$ のブロック 1 個が段 $n$ のブロック $L^4$ 個からなることを反映して $L^4C_2|D'\cap X|$ に増えます。場に依らない摂動（定数項）は [関連](/physics/constructive-qft/rigorous-renormalization-group#def-relevance) な方向なので、放っておけば発散します。これを抑えるのが 2 次の項 $-\lambda^{1/2}\!\int|\psi|^2$ で、こちらも $L^2$ 倍に強まります。大場の定義から、大場の領域の中のどこかでは $|\psi|\ge O(C_1\bar n^{1/4})$ なので、$C_1$ を大きくとれば 2 次の項が定数項の増加に勝つ、というのが筋書きです。
2. **質量と波動関数のくりこみ（§11、Appendix 2）。** 有効相互作用の 2 次の項は非局所的な核で与えられます。そこから局所的な質量項 $\frac12\delta m^2\!\int\psi^2$ と運動項 $\frac12\delta c\!\int(\partial\psi)^2$ を取り出し、後者を場の規格化 $\zeta$ に吸収します。
3. **体積によらない評価から主結果へ（§12）。** 質量 $m_n^2$ が区間 $I_n=[-\bar n^{-3/2},\bar n^{-3/2}]$ に留まるという仮定を、初期値の調整で実現します。

原論文の式と本章の環境の対応は次のとおりです。

| 原論文 | 本章 |
|---|---|
| (6.7) | <Ref to="lem-gk-real-part-quartic" /> |
| (10.1)–(10.10) | <Ref to="lem-gk-large-field-product-bound" />、<Ref to="lem-gk-large-field-factors" />、<Ref to="prop-gk-large-field-activity" /> |
| (10.11)–(10.21) | <Ref to="lem-gk-outside-terms-large-field" />、<Ref to="prop-gk-partial-mayer-large-field" />、<Ref to="lem-gk-quartic-sextic-large-field" /> |
| (10.22)–(10.28) | <Ref to="lem-gk-smooth-cutoff-extension" />、<Ref to="prop-gk-quartic-in-large-region" />、<Ref to="thm-gk-large-field-first-bound" /> |
| (10.29)–(10.33) | <Ref to="prop-gk-large-field-refined" /> |
| (10.34)–(10.48) | <Ref to="lem-gk-sup-vs-l2" />、<Ref to="lem-gk-log-count" />、<Ref to="thm-gk-large-field-l2-lower-bound" /> |
| (10.49) | <Ref to="thm-gk-large-field-bound-iterates" /> |
| Appendix 2 の Lemma | <Ref to="thm-gk-gleason-lemma" /> |
| (11.1)–(11.7) | <Ref to="lem-gk-quadratic-second-order" />、<Ref to="lem-gk-quadratic-kernel-i" /> |
| (11.8)–(11.16)、(A2.15)–(A2.17) | <Ref to="lem-gk-mass-term-rewrite" />、<Ref to="prop-gk-mass-extraction" /> |
| (11.17)–(11.27) | <Ref to="thm-gk-quadratic-normal-form" />、<Ref to="prop-gk-wavefunction-renormalization-size" />、<Ref to="thm-gk-mass-wavefunction-renormalization" /> |
| §12 | <Ref to="def-gk-infinite-volume-field-sets" />〜<Ref to="cor-gk-bs-fields-gaussian" /> |

（この章の続きは購入者向けです。）