Gibbs 測度の存在

定理 5.1（「DLR 条件と Gibbs 測度」§5）・ ✓公理まで証明済み

$\gamma$ を準局所的な仕様とし、 $\Lambda_1\subset\Lambda_2\subset\cdots$ を $\bigcup_n\Lambda_n=\mathbb{Z}^d$ となる有限集合の列、 $\omega^{(n)}\in\Omega$ を任意の境界条件とする。 $\mu_n=\gamma_{\Lambda_n}(\cdot\mid\omega^{(n)})$ とおく。

(i) $(\mu_n)$ は弱収束する部分列をもつ。

(ii) $(\mu_n)$ の部分列の弱収束極限はすべて $\mathcal{G}(\gamma)$ に属する。

特に $\mathcal{G}(\gamma)\ne\emptyset$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 37 件、定義なども含めて 44 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

配位空間の性質✓補題 2.1・DLR 条件と Gibbs 測度
- コンパクト距離空間上の連続関数は一様連続✓補題 2.2・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
  - 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間
    ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
  - ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
緊密性と相対コンパクト性定義 3.1・確率測度の弱収束
Prokhorov の定理（緊密ならば相対コンパクト）✓定理 3.3・確率測度の弱収束
- C(K) の可分性✓補題 3.2・確率測度の弱収束
  - 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間（上で展開済み）
  - Stone–Weierstrass の定理（実数値）✓定理 4.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
    絶対値関数の多項式による一様近似✓補題 4.1・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
- Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
  - 開集合は μ*-可測✓補題 4.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    Carathéodory の定理（外測度から測度へ）✓定理 3.2・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - コンパクト集合の測度✓補題 4.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
  - 積分との一致✓補題 4.5・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    コンパクト集合の測度✓補題 4.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
- Ulam の定理✓定理 3.3・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
  - 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間（上で展開済み）
  - 閉集合による正則性✓補題 3.2・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
    測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理（上で展開済み）
- 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
弱収束定義 2.1・確率測度の弱収束
有界 Lipschitz 関数は測度を決める✓補題 2.2・確率測度の弱収束
- ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
- 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理

これを使っている定理証明で参照している 4 件

Gibbs 測度の集合は凸でコンパクト✓系 5.2・DLR 条件と Gibbs 測度
Dobrushin の一意性定理✓定理 7.3・DLR 条件と Gibbs 測度
1 次元 Ising 模型の Gibbs 測度の一意性✓定理 3.2・Ising 模型と Peierls の議論
+ 状態の存在✓定理 4.2・Ising 模型と Peierls の議論

Gibbs 測度の存在

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

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