緊密性と相対コンパクト性

族 $\Pi\subset\mathcal{P}(S)$ が緊密であるとは、任意の $\varepsilon>0$ に対しコンパクト集合 $K\subset S$ で、すべての $\mu\in\Pi$ について $\mu(S\setminus K)<\varepsilon$ となるものがあることをいう。$\Pi$ の任意の列が、$\mathcal{P}(S)$ のある元に弱収束する部分列をもつとき、$\Pi$ は相対コンパクトであるという。