数学 › Gibbs 測度と相転移の数理 › Ising 模型と Peierls の議論

+ 状態の存在

定理 4.2（「Ising 模型と Peierls の議論」§4）・ ✓公理まで証明済み

$h\ge0$ とする。 $\Lambda_n\uparrow\mathbb{Z}^d$ （ $\bigcup\Lambda_n=\mathbb{Z}^d$ の増大列）について $\mu^+_{\Lambda_n}$ は弱収束し、極限 $\mu^+$ は列によらない。 $\mu^+$ は並進不変な Gibbs 測度で、すべての有限集合 $A$ で

\mu^+(\sigma_A)=\inf_{\Lambda\supset A}\langle\sigma_A\rangle^+_\Lambda .

$h=0$ のとき $\mu^-$ を $\mu^+$ のスピン反転とすると、 $\mu^-$ も Gibbs 測度である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 44 件、定義なども含めて 51 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

+ 境界条件の相関の体積単調性✓命題 4.1・Ising 模型と Peierls の議論
- 相関の結合定数についての単調性✓系 3.3・相関不等式
  - Griffiths の第 2 不等式（GKS）✓定理 3.2・相関不等式
    Griffiths の第 1 不等式✓定理 3.1・相関不等式
  - Griffiths の第 1 不等式✓定理 3.1・相関不等式
- Griffiths の第 1 不等式✓定理 3.1・相関不等式
Gibbs 測度の存在✓定理 5.1・DLR 条件と Gibbs 測度
- 配位空間の性質✓補題 2.1・DLR 条件と Gibbs 測度
  - コンパクト距離空間上の連続関数は一様連続✓補題 2.2・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
    距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間この先をたどる →
    ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
- 緊密性と相対コンパクト性定義 3.1・確率測度の弱収束
- Prokhorov の定理（緊密ならば相対コンパクト）✓定理 3.3・確率測度の弱収束
  - C(K) の可分性✓補題 3.2・確率測度の弱収束
    距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間この先をたどる →
    Stone–Weierstrass の定理（実数値）✓定理 4.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
  - Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    開集合は μ*-可測✓補題 4.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
    コンパクト集合の測度✓補題 4.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    積分との一致✓補題 4.5・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
  - Ulam の定理✓定理 3.3・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
    距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間この先をたどる →
    閉集合による正則性✓補題 3.2・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理この先をたどる →
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 弱収束定義 2.1・確率測度の弱収束
- 有界 Lipschitz 関数は測度を決める✓補題 2.2・確率測度の弱収束
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
Walsh 基底✓補題 2.2・Ising 模型と Peierls の議論
- 配位空間の性質✓補題 2.1・DLR 条件と Gibbs 測度（上で展開済み）
- 有界 Lipschitz 関数は測度を決める✓補題 2.2・確率測度の弱収束（上で展開済み）
部分列の原理✓補題 5.1・確率測度の弱収束

これを使っている定理証明で参照している 5 件

Peierls の定理✓定理 6.1・Ising 模型と Peierls の議論
d≥2 での相の共存✓系 6.2・Ising 模型と Peierls の議論
経路の数え上げによる高温評価✓命題 5.1・ランダムクラスター表示と浸透
指数減衰の閾値は有限✓補題 2.1・Aizenman–Duminil-Copin『Marginal triviality of 4D Ising and φ⁴₄』(2021) 第 3 部
Ising 模型の相転移✓定理 7.2・格子スカラー場

+ 状態の存在

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

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関連するノック 2 問

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