数学 › Gibbs 測度と相転移の数理 › Ising 模型と Peierls の議論
d≥2 での相の共存
、、 ならば で、 はともに並進不変な Gibbs 測度である。特に 。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 55 件、定義なども含めて 63 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
相関の結合定数についての単調性✓系 3.3・相関不等式
Griffiths の第 2 不等式（GKS）✓定理 3.2・相関不等式
- Griffiths の第 1 不等式✓定理 3.1・相関不等式
- Griffiths の第 1 不等式✓定理 3.1・相関不等式
Peierls の定理✓定理 6.1・Ising 模型と Peierls の議論
+ 状態の存在✓定理 4.2・Ising 模型と Peierls の議論
+ 境界条件の相関の体積単調性✓命題 4.1・Ising 模型と Peierls の議論
- 相関の結合定数についての単調性✓系 3.3・相関不等式（上で展開済み）
- Griffiths の第 1 不等式✓定理 3.1・相関不等式
Gibbs 測度の存在✓定理 5.1・DLR 条件と Gibbs 測度
配位空間の性質✓補題 2.1・DLR 条件と Gibbs 測度
- コンパクト距離空間上の連続関数は一様連続✓補題 2.2・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
- 緊密性と相対コンパクト性定義 3.1・確率測度の弱収束
Prokhorov の定理（緊密ならば相対コンパクト）✓定理 3.3・確率測度の弱収束
- C(K) の可分性✓補題 3.2・確率測度の弱収束 この先をたどる →
- Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理 この先をたどる →
- Ulam の定理✓定理 3.3・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理 この先をたどる →
- 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
- 弱収束定義 2.1・確率測度の弱収束
有界 Lipschitz 関数は測度を決める✓補題 2.2・確率測度の弱収束
- ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
- 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理 この先をたどる →
Walsh 基底✓補題 2.2・Ising 模型と Peierls の議論
- 配位空間の性質✓補題 2.1・DLR 条件と Gibbs 測度（上で展開済み）
- 有界 Lipschitz 関数は測度を決める✓補題 2.2・確率測度の弱収束（上で展開済み）
- 部分列の原理✓補題 5.1・確率測度の弱収束
自発磁化の性質✓命題 4.4・Ising 模型と Peierls の議論
- 相関の結合定数についての単調性✓系 3.3・相関不等式（上で展開済み）
Ising 模型の高温での一意性✓命題 7.5・DLR 条件と Gibbs 測度
- Gibbs 仕様定義 3.3・DLR 条件と Gibbs 測度
- Gibbs 仕様は準局所的な仕様✓命題 3.4・DLR 条件と Gibbs 測度
Dobrushin の一意性定理✓定理 7.3・DLR 条件と Gibbs 測度
- Gibbs 測度の存在✓定理 5.1・DLR 条件と Gibbs 測度（上で展開済み）
- 変動の評価✓補題 7.2・DLR 条件と Gibbs 測度
- 配位空間の性質✓補題 2.1・DLR 条件と Gibbs 測度（上で展開済み）
- 有界 Lipschitz 関数は測度を決める✓補題 2.2・確率測度の弱収束（上で展開済み）
これを使っている定理 証明で参照している 2 件
- 指数減衰の閾値は有限✓補題 2.1・Aizenman–Duminil-Copin『Marginal triviality of 4D Ising and φ⁴₄』(2021) 第 3 部
- Ising 模型の相転移✓定理 7.2・格子スカラー場