Ising 模型の高温での一意性

命題 7.5（「DLR 条件と Gibbs 測度」§7）・ ✓公理まで証明済み

$S=\{-1,1\}$ とし、最近接 Ising 模型の相互作用 $\Phi_{\{x,y\}}(\omega)=-\beta J\omega_x\omega_y$ （ $|x-y|=1$ ）、 $\Phi_{\{x\}}(\omega)=-\beta h\omega_x$ （ $\beta\gt0$ 、 $J,h\in\mathbb{R}$ ）、それ以外の $\Phi_A=0$ を考える。 $2d\tanh(\beta|J|)\lt1$ ならば、 $h$ によらず $|\mathcal{G}(\Phi)|=1$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 41 件、定義なども含めて 49 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Gibbs 仕様定義 3.3・DLR 条件と Gibbs 測度
Gibbs 仕様は準局所的な仕様✓命題 3.4・DLR 条件と Gibbs 測度
Dobrushin の一意性定理✓定理 7.3・DLR 条件と Gibbs 測度
- Gibbs 測度の存在✓定理 5.1・DLR 条件と Gibbs 測度
  - 配位空間の性質✓補題 2.1・DLR 条件と Gibbs 測度（上で展開済み）
  - 緊密性と相対コンパクト性定義 3.1・確率測度の弱収束
  - Prokhorov の定理（緊密ならば相対コンパクト）✓定理 3.3・確率測度の弱収束
    C(K) の可分性✓補題 3.2・確率測度の弱収束この先をたどる →
    Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
    Ulam の定理✓定理 3.3・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 弱収束定義 2.1・確率測度の弱収束
  - 有界 Lipschitz 関数は測度を決める✓補題 2.2・確率測度の弱収束（上で展開済み）
- 変動の評価✓補題 7.2・DLR 条件と Gibbs 測度
- 配位空間の性質✓補題 2.1・DLR 条件と Gibbs 測度
  - コンパクト距離空間上の連続関数は一様連続✓補題 2.2・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
    距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間この先をたどる →
    ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
- 有界 Lipschitz 関数は測度を決める✓補題 2.2・確率測度の弱収束
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

自発磁化の性質✓命題 4.4・Ising 模型と Peierls の議論

Ising 模型の高温での一意性

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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