数学 › Gibbs 測度と相転移の数理 › DLR 条件と Gibbs 測度

Dobrushin の一意性定理

定理 7.3（「DLR 条件と Gibbs 測度」§7） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 39 件、定義なども含めて 46 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• Gibbs 測度の存在✓定理 5.1・DLR 条件と Gibbs 測度

  • 配位空間の性質✓補題 2.1・DLR 条件と Gibbs 測度（上で展開済み）
  • 緊密性と相対コンパクト性定義 3.1・確率測度の弱収束
  • Prokhorov の定理（緊密ならば相対コンパクト）✓定理 3.3・確率測度の弱収束

    • C(K) の可分性✓補題 3.2・確率測度の弱収束

      • 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間（上で展開済み）
      • Stone–Weierstrass の定理（実数値）✓定理 4.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
    • Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理

      • 開集合は μ*-可測✓補題 4.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理 この先をたどる →
      • コンパクト集合の測度✓補題 4.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
      • 積分との一致✓補題 4.5・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理 この先をたどる →
    • Ulam の定理✓定理 3.3・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理

      • 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間（上で展開済み）
      • 閉集合による正則性✓補題 3.2・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理 この先をたどる →
    • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
      • 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
      • 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • 弱収束定義 2.1・確率測度の弱収束
  • 有界 Lipschitz 関数は測度を決める✓補題 2.2・確率測度の弱収束（上で展開済み）
• 変動の評価✓補題 7.2・DLR 条件と Gibbs 測度
• 配位空間の性質✓補題 2.1・DLR 条件と Gibbs 測度

  • コンパクト距離空間上の連続関数は一様連続✓補題 2.2・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass

    • 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間

      • ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
    • ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
• 有界 Lipschitz 関数は測度を決める✓補題 2.2・確率測度の弱収束

  • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
      • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    • ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  • 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理

    • Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    • 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理

      • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

• Gibbs 仕様での判定✓系 7.4・DLR 条件と Gibbs 測度
• Ising 模型の高温での一意性✓命題 7.5・DLR 条件と Gibbs 測度

関連するノック 3 問

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