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Peierls の定理

定理 6.1（「Ising 模型と Peierls の議論」§6） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 49 件、定義なども含めて 56 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 単連結な集合の輪郭は連結✓補題 5.3・Ising 模型と Peierls の議論

  • 輪郭は偶✓補題 5.1・Ising 模型と Peierls の議論
  • 偶な集合は輪郭✓補題 5.2・Ising 模型と Peierls の議論（上で展開済み）
• 輪郭は偶✓補題 5.1・Ising 模型と Peierls の議論
• 偶な集合は輪郭✓補題 5.2・Ising 模型と Peierls の議論

  • 輪郭は偶✓補題 5.1・Ising 模型と Peierls の議論
• 連結な偶集合の個数✓補題 5.4・Ising 模型と Peierls の議論
• + 状態の存在✓定理 4.2・Ising 模型と Peierls の議論

  • + 境界条件の相関の体積単調性✓命題 4.1・Ising 模型と Peierls の議論

    • 相関の結合定数についての単調性✓系 3.3・相関不等式

      • Griffiths の第 2 不等式（GKS）✓定理 3.2・相関不等式 この先をたどる →
      • Griffiths の第 1 不等式✓定理 3.1・相関不等式
    • Griffiths の第 1 不等式✓定理 3.1・相関不等式
  • Gibbs 測度の存在✓定理 5.1・DLR 条件と Gibbs 測度

    • 配位空間の性質✓補題 2.1・DLR 条件と Gibbs 測度

      • コンパクト距離空間上の連続関数は一様連続✓補題 2.2・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
    • 緊密性と相対コンパクト性定義 3.1・確率測度の弱収束
    • Prokhorov の定理（緊密ならば相対コンパクト）✓定理 3.3・確率測度の弱収束

      • C(K) の可分性✓補題 3.2・確率測度の弱収束 この先をたどる →
      • Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理 この先をたどる →
      • Ulam の定理✓定理 3.3・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理 この先をたどる →
      • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • 弱収束定義 2.1・確率測度の弱収束
    • 有界 Lipschitz 関数は測度を決める✓補題 2.2・確率測度の弱収束

      • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理 この先をたどる →
  • Walsh 基底✓補題 2.2・Ising 模型と Peierls の議論

    • 配位空間の性質✓補題 2.1・DLR 条件と Gibbs 測度（上で展開済み）
    • 有界 Lipschitz 関数は測度を決める✓補題 2.2・確率測度の弱収束（上で展開済み）
  • 部分列の原理✓補題 5.1・確率測度の弱収束

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

• d≥2 での相の共存✓系 6.2・Ising 模型と Peierls の議論
• 輪郭の数え上げによる低温評価✓命題 5.2・ランダムクラスター表示と浸透

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