数学 › Gibbs 測度と相転移の数理 › Ising 模型と Peierls の議論

1 次元 Ising 模型の Gibbs 測度の一意性

定理 3.2（「Ising 模型と Peierls の議論」§3）・ ✓公理まで証明済み

$d=1$ の最近接 Ising 模型（任意の $\beta>0$ 、 $J>0$ 、 $h\in\mathbb{R}$ ）の Gibbs 測度はただ一つ $\mu$ であり、 $k\ge0$ 、 $\eta\in\{-1,1\}^{\{-k,\dots,k\}}$ について

\mu(\sigma_i=\eta_i,\ |i|\le k)=\frac{v_{\eta_{-k}}\,\Bigl(\prod_{i=-k}^{k-1}T(\eta_i,\eta_{i+1})\Bigr)\,v_{\eta_k}}{\lambda_+^{2k}}

で与えられる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 39 件、定義なども含めて 46 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

転送行列のスペクトル分解✓補題 3.1・Ising 模型と Peierls の議論
Gibbs 測度の存在✓定理 5.1・DLR 条件と Gibbs 測度
- 配位空間の性質✓補題 2.1・DLR 条件と Gibbs 測度
  - コンパクト距離空間上の連続関数は一様連続✓補題 2.2・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
    距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間この先をたどる →
    ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
- 緊密性と相対コンパクト性定義 3.1・確率測度の弱収束
- Prokhorov の定理（緊密ならば相対コンパクト）✓定理 3.3・確率測度の弱収束
  - C(K) の可分性✓補題 3.2・確率測度の弱収束
    距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間この先をたどる →
    Stone–Weierstrass の定理（実数値）✓定理 4.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
  - Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    開集合は μ*-可測✓補題 4.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
    コンパクト集合の測度✓補題 4.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    積分との一致✓補題 4.5・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
  - Ulam の定理✓定理 3.3・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
    距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間この先をたどる →
    閉集合による正則性✓補題 3.2・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理この先をたどる →
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 弱収束定義 2.1・確率測度の弱収束
- 有界 Lipschitz 関数は測度を決める✓補題 2.2・確率測度の弱収束
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →

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