Bernoulli シフトの構成

補題 2.5（「エルゴード定理」§2）・ ✓公理まで証明済み

$\nu$ を $\mathbb{R}$ 上の確率測度、 $\Omega=\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ 、 $\mathcal{F}$ を座標写像 $x\mapsto x_k$ で生成される直積 σ-加法族とする。 $\mathcal{F}$ 上の確率測度 $P$ で、任意の $m$ と Borel 集合 $B\subset\mathbb{R}^m$ について $P(\{(x_1,\dots,x_m)\in B\})=\nu^{\otimes m}(B)$ を満たすもの $P=\nu^{\otimes\mathbb{N}}$ がただ 1 つ存在する。さらにシフト $\sigma(x)_k=x_{k+1}$ は可測で $P\circ\sigma^{-1}=P$ を満たす。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 25 件、定義なども含めて 29 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
- 切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理（上で展開済み）
- 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理（上で展開済み）
Kolmogorov の拡張定理✓定理 4.1・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
- 有限直積のボレル集合族✓補題 2.2・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
- Ulam の定理✓定理 3.3・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
  - 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間（上で展開済み）
  - 閉集合による正則性✓補題 3.2・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
    測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理（上で展開済み）
- 有限加法的な関数の単調性と劣加法性✓補題 4.1・測度空間と Carathéodory の拡張定理
- 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間
  - ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
- Carathéodory の拡張定理（一般形）✓定理 4.2・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - 有限加法的な関数の単調性と劣加法性✓補題 4.1・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - Carathéodory の定理（外測度から測度へ）✓定理 3.2・測度空間と Carathéodory の拡張定理
- 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理（上で展開済み）
測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理
- Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
- 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Bernoulli シフトは混合的✓命題 3.10・エルゴード定理
大数の強法則（エルゴード定理による証明）✓系 5.4・エルゴード定理

Bernoulli シフトの構成

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件