結合スペクトル測度と同時対角化

定理 7.3（「スペクトル定理と関数計算」§7）・ ✓公理まで証明済み

$A_1,\ldots,A_n$ を互いに可換な自己共役作用素とする。このとき $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ 上の射影値測度 $E$ がただ一つ存在して、

E(S_1\times\cdots\times S_n)=E_{A_1}(S_1)\cdots E_{A_n}(S_n)\qquad(S_j\in\mathcal{B}(\mathbb{R}))

を満たす。 $E$ を結合スペクトル測度といい、各 $j$ について $A_j=\int_{\mathbb{R}^n}\lambda_j\,\mathrm{d}E(\lambda)$ が成り立つ。 $\mathcal{H}$ が可分なら、有限測度空間 $(M,\mu)$ 、実数値可測関数 $a_1,\ldots,a_n$ 、ユニタリ $W:\mathcal{H}\to L^2(M,\mu)$ が存在して、すべての $j$ について $WA_jW^{-1}$ は $a_j$ を掛ける作用素（定義域は $\{g:a_jg\in L^2\}$ ）になる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 40 件、定義なども含めて 48 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 10 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

自己共役作用素の（強）可換性定義 7.1・スペクトル定理と関数計算
射影値測度の基本性質✓命題 3.2・スペクトル定理と関数計算
有限加法的な関数の単調性と劣加法性✓補題 4.1・測度空間と Carathéodory の拡張定理
Carathéodory の拡張定理（一般形）✓定理 4.2・測度空間と Carathéodory の拡張定理
- 有限加法的な関数の単調性と劣加法性✓補題 4.1・測度空間と Carathéodory の拡張定理
- Carathéodory の定理（外測度から測度へ）✓定理 3.2・測度空間と Carathéodory の拡張定理
Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
射影値測度（スペクトル測度）定義 3.1・スペクトル定理と関数計算
非有界関数のスペクトル積分定義 4.2・スペクトル定理と関数計算
スペクトル定理（射影値測度版）✓定理 5.5・スペクトル定理と関数計算
- ケーリー変換✓補題 5.1・スペクトル定理と関数計算
- ユニタリ作用素のスペクトル定理✓定理 5.3・スペクトル定理と関数計算
  - Fejér–Riesz の定理✓定理 4.1・Toeplitz 作用素と Szegő の極限定理
  - Stone–Weierstrass の定理（複素数値）✓定理 4.7・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
    Stone–Weierstrass の定理（実数値）✓定理 4.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
  - Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    開集合は μ*-可測✓補題 4.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
    コンパクト集合の測度✓補題 4.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    積分との一致✓補題 4.5・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
  - 単位円上の測度は連続関数の積分で決まる✓補題 5.2・スペクトル定理と関数計算
    正則性の自動成立✓定理 5.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理この先をたどる →
    Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理（上で展開済み）
  - リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎
    射影定理✓定理 3.4・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
  - 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
- スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算
  - 非有界関数のスペクトル積分定義 4.2・スペクトル定理と関数計算
  - 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理
- Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
- 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
スペクトル定理（掛け算作用素版）✓定理 5.7・スペクトル定理と関数計算
- 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算
  - 射影値測度の基本性質✓命題 3.2・スペクトル定理と関数計算
- スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 3 件

Bochner の定理✓定理 2.4・核型空間と Bochner–Minlos の定理
竹崎の一意性定理（巡回分離ベクトルの場合）✓定理 8.3・冨田–竹崎の定理の証明
エネルギー・運動量スペクトル✓命題 4.2・自由スカラー場の Fock 空間上の構成

結合スペクトル測度と同時対角化

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 10 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 10 件）

これを使っている定理証明で参照している 3 件