自由な Maxwell 場は存在するが質量ギャップをもたない

$f\in\mathcal{T}$ について、$\mathcal{F}_0$ 上の作用素 $F(f)=a(v_f)+a(v_f)^*$ を考える。

1. （場）$v_f\in\mathfrak{h}$ で、$f\mapsto F(f)$ は実線形、$F(f)$ は $\mathcal{F}_0$ 上の対称作用素である。$\langle\Omega,F(f)F(g)\Omega\rangle=\langle v_f,v_g\rangle$ で、$F(f_1)\cdots F(f_n)\Omega$（$n\ge0$）の線形包は $\mathcal{F}$ で稠密である。
2. （Maxwell 方程式）$h=(h^\nu)$、$h^\nu\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^4;\mathbb{R})$ について、$f^{\mu\nu}=\partial^\mu h^\nu-\partial^\nu h^\mu$ または $f^{\mu\nu}=\sum_{\rho,\sigma}\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\partial_\rho h_\sigma$ ならば $F(f)=0$。すなわち超関数の意味で $\partial^\mu F_{\mu\nu}=0$、$\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\partial_\nu F_{\rho\sigma}=0$。
3. （並進とスペクトル条件）$(u(a)v)(\boldsymbol{k})=e^{ik\cdot a}v(\boldsymbol{k})$（$k=(|\boldsymbol{k}|,\boldsymbol{k})$）は $\mathfrak{h}$ 上の強連続ユニタリ表現で、$U(a)=\Gamma(u(a))$ は $U(a)\Omega=\Omega$、$U(a)F(f)U(a)^{-1}=F(f(\cdot-a))$ を満たす。時間並進は $U((t,\boldsymbol{0}))=e^{itH}$、$H=\mathrm{d}\Gamma(\omega)$（$\omega$ は $|\boldsymbol{k}|$ を掛ける作用素）で、エネルギー運動量の結合スペクトルは閉前方光錐に含まれる。
4. （局所可換性）$f,g\in\mathcal{T}$ の台がコンパクトで、互いに空間的に離れている（$x\in\mathrm{supp}f$、$y\in\mathrm{supp}g$ なら $(x-y)^2\lt0$）ならば、$\mathcal{F}_0$ 上で $[F(f),F(g)]=0$。
5. （べき減衰）$f^{12}=-f^{21}=f_0$、$g^{12}=-g^{21}=g_0$ で他の成分が $0$ のとき $$\langle\Omega,F(f)F(g)\Omega\rangle=\iint f_0(x)\,g_0(y)\,\mathcal{W}(x-y)\,d^4x\,d^4y$$ と書け、超関数 $\mathcal{W}$ は空間的な $\xi=(t,\boldsymbol{x})$（$\varrho=|\boldsymbol{x}|^2-t^2\gt0$）の上で関数 $$\mathcal{W}(\xi)=\frac{1}{\pi^2}\Bigl(\frac{1}{\varrho^2}-\frac{2(x_1^2+x_2^2)}{\varrho^3}\Bigr)$$ に等しい。とくに $\mathcal{W}(\lambda\xi)=\lambda^{-4}\mathcal{W}(\xi)$ で、$\xi=(0,0,0,r)$ では $\mathcal{W}=\dfrac{1}{\pi^2r^4}$。
6. （ギャップが無い）$\mathrm{Ker}\,H=\mathbb{C}\Omega$ かつ $\sigma(H)=[0,\infty)$。したがって、どの $\Delta\gt0$ についても $\sigma(H)\cap(0,\Delta)\ne\emptyset$ である。