数学 › 未解決問題と大定理 › Yang–Mills 理論と質量ギャップ I

質量ギャップと指数的クラスター性の同値

定理 3.4（「Yang–Mills 理論と質量ギャップ I」§3） ・ ✓公理まで証明済み

H\mathcal{H} を Hilbert 空間、H≥0H\ge0 を自己共役作用素、Ω\Omega を HΩ=0H\Omega=0 を満たす単位ベクトル、D⊂HD\subset\mathcal{H} を稠密な部分空間とする。Δ>0\Delta\gt0 について次の 3 つは同値である。

  1. Ker H=CΩ\mathrm{Ker}\,H=\mathbb{C}\Omega（真空の一意性）かつ σ(H)∩(0,Δ)=∅\sigma(H)\cap(0,\Delta)=\emptyset（質量ギャップ Δ\Delta）。
  2. すべての ψ,χ∈H\psi,\chi\in\mathcal{H} と t≥0t\ge0 について ∣⟨ψ,e−tHχ⟩−⟨ψ,Ω⟩⟨Ω,χ⟩∣≤e−tΔ ∥ψ∥ ∥χ∥.\bigl|\langle\psi,e^{-tH}\chi\rangle-\langle\psi,\Omega\rangle\langle\Omega,\chi\rangle\bigr|\le e^{-t\Delta}\,\|\psi\|\,\|\chi\|.
  3. すべての ψ∈D\psi\in D について定数 Cψ<∞C_\psi\lt\infty があって、すべての t≥0t\ge0 で 0≤⟨ψ,e−tHψ⟩−∣⟨Ω,ψ⟩∣2≤Cψ e−tΔ.0\le\langle\psi,e^{-tH}\psi\rangle-|\langle\Omega,\psi\rangle|^2\le C_\psi\,e^{-t\Delta}.

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 36 件、定義なども含めて 42 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

関連するノック 1 問