外場 QED と Shale–Stinespring の定理：Dirac の海の取り替え、真空電荷とスペクトル流

0. この記事の要点

電子の理論では、エネルギーが負の状態はすべて電子で埋まっていて、それが「何もない真空」に見える、と考えます（Dirac の海）。ところが外から電場をかけると、どの状態を「正」「負」と呼ぶかの境目そのものが動くので、新しい真空が元の真空と同じ数学的な舞台（Fock 空間）に収まるのか、という素朴な疑問が出てきます。この記事は、その答えが「境目の動きが十分小さいとき、かつそのときに限る」と書けること、そして真空に電荷が生じる条件を、角度と固有値の数え上げで示します。

• 1 粒子空間 $\mathcal{H}$ の直交射影 $P$（「電子」の部分空間）ごとに、電子・陽電子の Fock 空間 $\mathcal{F}_P$ 上の CAR 表現 $\psi_P$ と真空 $\Omega_P$ が定まります。$P$ を自由 Dirac 作用素の正エネルギー射影に取ると、Dirac の海を埋めた真空の数学的な実現です。
• 二つの射影 $P,Q$ の差がコンパクトなら、$\mathcal{H}$ は $P=Q$ の部分、$P,Q$ が直交する有限次元の部分、角度 $\theta_j\in(0,\pi/2)$ の 2 次元ブロックの直和に分かれます（二つの射影の標準形）。$\|P-Q\|_2^2=\dim\ker(P-Q-1)+\dim\ker(P-Q+1)+2\sum_j\sin^2\theta_j$ です。
• 定理：$\mathcal{F}_P$ の中に「$Q$ の真空」が存在するための必要十分条件は $P-Q$ が Hilbert–Schmidt 作用素であることです。真空は 2 モードごとの回転 $\cos\theta_j-\sin\theta_j\psi^*(e_j)\psi(g_j)$ の無限積で、収束は $\prod\cos\theta_j>0$、すなわち $\sum\sin^2\theta_j<\infty$ と同値です。これから Shale–Stinespring の定理：1 粒子のユニタリ $U$ が $\mathcal{F}_P$ で実装できるのは $[U,P]$ が Hilbert–Schmidt のときに限る、が従います。
• 新しい真空の電荷は射影の対の指数 $\mathrm{ind}(P,Q)=\dim\ker(P-Q-1)-\dim\ker(Q-P-1)=\mathrm{tr}(P-Q)^3$ です。外場を連続的に変えたとき、これは 0 を横切る固有値の数（スペクトル流）に等しく、超臨界な外場で真空が荷電する現象を記述します。
• 有界な外場 $V$ で $[P,V]$ が Hilbert–Schmidt なら、時間発展 $e^{-it(D_0+V)}$ はすべての時刻で実装できます（Dyson 展開）。1+1 次元の静電ポテンシャル $\varphi\in H^{1/2}\cap L^\infty$ はこの条件を満たします。Bogoliubov–Dirac–Fock 模型は主張として紹介します。

この記事で使う事前知識

• 直交射影: 部分空間の上へ「影を落とす」作用素で、$P^2=P=P^*$ を満たすもの。→ 直交射影
• Hilbert–Schmidt 作用素: 正規直交基底に施した像の長さの 2 乗和が有限になる作用素（行列でいえば成分の 2 乗和が有限）。
• CAR の表現: フェルミオンの消滅・生成作用素が満たす反交換関係を、Hilbert 空間の上で実現したもの。→ CAR の表現
• Bogoliubov 変換: 生成作用素と消滅作用素を混ぜる形の正準変換。→ Bogoliubov 変換
• Fredholm 作用素の指数: 核の次元から余核の次元を引いた整数。→ Fredholm 理論
• 自由 Dirac 作用素の正・負エネルギー射影: スペクトルが正の部分、負の部分への射影。→ 負エネルギー射影

1. 動機

Dirac の処方「負エネルギー状態はすべて埋まっている」を第二量子化の言葉にすると、電子の 1 粒子空間 $P_+\mathcal{H}$ と陽電子の 1 粒子空間（$P_-\mathcal{H}$ を反ユニタリに写したもの）の Fock 空間のテンソル積を作ることになります（命題 6.1［フェルミオン Fock 空間と正準反交換関係］）。そこでは「海を埋める」操作は表現の選び方に吸収され、Fock 表現（$P_+=1$）とは同値でありません（命題 6.2［フェルミオン Fock 空間と正準反交換関係］）。

外場があると、正負のエネルギーの分け方そのものが変わります。強い静電場の中の真空は、自由な真空から見れば電子・陽電子の対を含む状態で、それが同じ Fock 空間の中にあるかどうかが問題になります。また外場の中での時間発展は 1 粒子空間のユニタリ $U(t)$ を与えますが、それを Fock 空間のユニタリで実装できなければ、場の理論の時間発展そのものが定義できません。答えはどちらも「射影の差、あるいは $U$ の正負エネルギーを混ぜる部分が Hilbert–Schmidt か」という条件で、これが Shale–Stinespring の定理です。

Bogoliubov 変換と Shale の定理 では、この定理を 定理 7.3［Bogoliubov 変換と Shale の定理］ として主張だけ述べ、証明の筋道を 注意 7.4［Bogoliubov 変換と Shale の定理］ に記しました。本章では、外場 QED で必要な「射影の取り替え」の形で完全な証明を与えます。鍵は二つの射影の幾何（§3）で、真空の構成が 2 次元ブロックごとの具体的な計算に帰着します。さらに、射影の対の指数として真空の電荷を定義し（§5）、それがスペクトル流と一致することを示します。

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