外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb：Kato–Rellich の限界、臨界結合と特別な自己共役拡大

0. この記事の要点

水素のような、原子核のまわりを 1 個の電子が回る原子を、光の速さに近い運動まで考えて量子力学で扱うと、電子の方程式は原子核に近づくほど強く効く力（距離に反比例する力）を含みます。核の電荷が大きくなると、この力は原点で「強すぎて」、方程式から電子のエネルギーを一意に決められなくなる恐れがあります。この記事は、核の電荷（結合の強さ $\nu$）がどこまで大きければ問題なくエネルギーが決まるのか、決まらなくなった先でも自然な選び方は何か、そのとき電子がとれるエネルギーの範囲はどうなるのかを、数学的に答えます。

• エルミート行列値のポテンシャル $V$ が $|V(\boldsymbol x)|\le\nu/|\boldsymbol x|+C$、$\nu<1/2$ を満たせば、Hardy の不等式と Kato–Rellich の定理から $D_0+V$ は $H^1$ 上で自己共役です。Hardy の定数が最良なので、この方法は $\nu=1/2$ を越えられません。
• Coulomb 場 $V=-\nu/|\boldsymbol x|$ では部分波に分解する（角運動量の値ごとに問題を分ける）と、各チャネル（分けた 1 つ 1 つの問題。$\kappa$ は角運動量を表す 0 でない整数です）は半直線上の $2\times2$ 一階系 $h_\kappa$ になり、原点での解の振る舞いは $r^{\pm\gamma}$、$\gamma=\sqrt{\kappa^2-\nu^2}$ です。$\gamma\ge1/2$ なら境界形式が消え、$h_\kappa$ は本質的自己共役（拡大の選び方が一通りしかない）です。$|\kappa|\ge1$ なので、$|\nu|\le\sqrt3/2$ で $D_0-\nu/|\boldsymbol x|$ は $C_c^\infty(\mathbb{R}^3\setminus\{0\};\mathbb{C}^4)$ 上で本質的自己共役になります。
• $\sqrt3/2<|\nu|<1$ では $\kappa=\pm1$ のチャネルで両方の解が原点で 2 乗可積分になり、自己共役拡大は一つに決まりません。それでも「定義域が $D(|\boldsymbol x|^{-1/2})$ に入る」という条件で拡大がただ一つに決まります（特別な自己共役拡大）。この拡大の固有値が Sommerfeld の公式です。
• Kato の不等式 $|\boldsymbol x|^{-1}\le\frac\pi2|\boldsymbol p|$ を Fourier 側の Schur 評価で証明します。これから $|\boldsymbol x|^{-1/2}(D_0-i)^{-1}$ がコンパクトになり、$|\nu|<1$ でレゾルベントの差がコンパクト、したがって $\sigma_{\mathrm{ess}}(D_\nu)=(-\infty,-m]\cup[m,\infty)$ が従います。
• 同じ不等式から、相対論的な Schrödinger 作用素 $\sqrt{-\Delta+m^2}-\nu/|\boldsymbol x|$ は $\nu\le2/\pi$ で下に有界です。この $2/\pi$ と Dirac の臨界値 $1$ の食い違いが、第 3 章の no-pair 作用素の臨界結合 $2/(\pi/2+2/\pi)$ につながります。

この記事で使う事前知識

• 自己共役作用素: 対称で、定義域が「ちょうど」揃っている作用素。観測量（エネルギーなど）に対応し、スペクトルが実数になります。→ 自己共役作用素
• 本質的自己共役: 閉包をとると自己共役になる作用素。自己共役な拡大がただ一つに決まります。→ 本質的自己共役
• 自由 Dirac 作用素 $D_0$: 外場のない電子の相対論的なエネルギーを表す作用素（第 1 章）。→ 自由 Dirac 作用素
• スピン角度関数: 電子の角運動量とスピンを合わせた角度部分の基底。部分波分解で使います。→ スピン角度関数
• コンパクト作用素: 有界な列を、収束する部分列を持つ列へ写す作用素。有限次元に近い振る舞いをします。→ コンパクト作用素
• 閉作用素: グラフが閉じている作用素。極限をとる操作と相性がよい性質です。→ 閉作用素

1. 動機

水素様原子の Dirac 方程式では、ポテンシャル $-Z\alpha/r$ の強さ $\nu=Z\alpha$ が $1$ に近づくと、Sommerfeld の基底エネルギー $m\sqrt{1-\nu^2}$ が $0$ に下がり、$\nu>1$ では実数でなくなります（相対論的量子力学 の 定理 6.4［相対論的量子力学］）。$Z\alpha=1$ は $Z\approx137$ です。重い原子の内殻電子や、重イオン衝突で一時的に作られる $Z>137$ の「超臨界」な複合核を扱うには、Dirac–Coulomb 作用素がどの $\nu$ まで、どういう意味で自己共役か、を知る必要があります。

問題の核心は原点の特異性です。Schrödinger 作用素 $-\Delta-\nu/|\boldsymbol x|$ ではポテンシャルの $1/r$ が運動エネルギーの $1/r^2$ より弱いので、どんな $\nu$ でも Kato–Rellich で片付きます（例 3.5［自己共役性の判定］）。Dirac 作用素は 1 階なので、$1/r$ はちょうど運動エネルギーと同じ次数になり、結合定数の大きさそのものが効いてきます。逆 2 乗ポテンシャルの Schrödinger 作用素（系 3.3［シュレーディンガー作用素の自己共役性と束縛状態］）と同じ構造で、そこでも臨界値で自己共役性の様子が変わりました。

本章の流れは次のとおりです。§3 で Kato–Rellich の適用範囲を確かめ、§4 で部分波の常微分方程式から $\sqrt3/2$ と $1$ という 2 つの閾値を導きます。§5 で Kato の不等式を証明し、§6 で本質スペクトルを決めます。

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