# 外場つき Dirac 作用素と Dirac–Coulomb：Kato–Rellich の限界、臨界結合と特別な自己共役拡大
> Dirac–Coulomb 作用素 D₀−ν/|x| が |ν|≤√3/2 で本質的自己共役、|ν|<1 で |x|^{-1/2} の定義域に入る唯一の自己共役拡大を持つことを部分波の常微分方程式から証明し、Kato の不等式で本質スペクトルを決める。
> https://rikai.mugen-giken.com/mathematics/dirac-operators/dirac-coulomb
## 0. この記事の要点
水素のような、原子核のまわりを 1 個の電子が回る原子を、光の速さに近い運動まで考えて量子力学で扱うと、電子の方程式は原子核に近づくほど強く効く力（距離に反比例する力）を含みます。核の電荷が大きくなると、この力は原点で「強すぎて」、方程式から電子のエネルギーを一意に決められなくなる恐れがあります。この記事は、核の電荷（結合の強さ $\nu$）がどこまで大きければ問題なくエネルギーが決まるのか、決まらなくなった先でも自然な選び方は何か、そのとき電子がとれるエネルギーの範囲はどうなるのかを、数学的に答えます。
- エルミート行列値のポテンシャル $V$ が $|V(\boldsymbol x)|\le\nu/|\boldsymbol x|+C$、$\nu<1/2$ を満たせば、Hardy の不等式と Kato–Rellich の定理から $D_0+V$ は $H^1$ 上で[自己共役](/mathematics/functional-analysis/self-adjointness-criteria#def-symmetric-essentially-self-adjoint)です。Hardy の定数が最良なので、この方法は $\nu=1/2$ を越えられません。
- Coulomb 場 $V=-\nu/|\boldsymbol x|$ では部分波に分解する（角運動量の値ごとに問題を分ける）と、各チャネル（分けた 1 つ 1 つの問題。$\kappa$ は角運動量を表す 0 でない整数です）は半直線上の $2\times2$ 一階系 $h_\kappa$ になり、原点での解の振る舞いは $r^{\pm\gamma}$、$\gamma=\sqrt{\kappa^2-\nu^2}$ です。$\gamma\ge1/2$ なら境界形式が消え、$h_\kappa$ は[本質的自己共役](/mathematics/functional-analysis/self-adjointness-criteria#def-symmetric-essentially-self-adjoint)（拡大の選び方が一通りしかない）です。$|\kappa|\ge1$ なので、$|\nu|\le\sqrt3/2$ で $D_0-\nu/|\boldsymbol x|$ は $C_c^\infty(\mathbb{R}^3\setminus\{0\};\mathbb{C}^4)$ 上で本質的自己共役になります。
- $\sqrt3/2<|\nu|<1$ では $\kappa=\pm1$ のチャネルで両方の解が原点で 2 乗可積分になり、自己共役拡大は一つに決まりません。それでも「定義域が $D(|\boldsymbol x|^{-1/2})$ に入る」という条件で拡大がただ一つに決まります（**特別な自己共役拡大**）。この拡大の固有値が Sommerfeld の公式です。
- **Kato の不等式** $|\boldsymbol x|^{-1}\le\frac\pi2|\boldsymbol p|$ を Fourier 側の Schur 評価で証明します。これから $|\boldsymbol x|^{-1/2}(D_0-i)^{-1}$ が[コンパクト](/mathematics/functional-analysis/compact-operators#def-compact-operator)になり、$|\nu|<1$ でレゾルベントの差がコンパクト、したがって $\sigma_{\mathrm{ess}}(D_\nu)=(-\infty,-m]\cup[m,\infty)$ が従います。
- 同じ不等式から、相対論的な Schrödinger 作用素 $\sqrt{-\Delta+m^2}-\nu/|\boldsymbol x|$ は $\nu\le2/\pi$ で下に有界です。この $2/\pi$ と Dirac の臨界値 $1$ の食い違いが、第 3 章の no-pair 作用素の臨界結合 $2/(\pi/2+2/\pi)$ につながります。
## 1. 動機
水素様原子の [Dirac 方程式](/physics/quantum-mechanics-2/relativistic-quantum-mechanics#def-dirac-equation)では、ポテンシャル $-Z\alpha/r$ の強さ $\nu=Z\alpha$ が $1$ に近づくと、Sommerfeld の基底エネルギー $m\sqrt{1-\nu^2}$ が $0$ に下がり、$\nu>1$ では実数でなくなります（[相対論的量子力学](/physics/quantum-mechanics-2/relativistic-quantum-mechanics) の