Dirac 型作用素の熱作用素

定理 7.1（「熱核の漸近展開」§7）・ ✓公理まで証明済み

$S$ を Clifford 加群、 $D$ をその Dirac 型作用素（定義域 $\Gamma(S)$ ）、 $D^2=\nabla^*\nabla+\mathcal{R}$ を Weitzenböck 公式とし、 $K$ を Laplace 型作用素 $D^2$ の熱核（命題 2.3 の 2、定理 4.6）、 $\mathcal{T}_t$ をその熱作用素とする。 $M$ の次元は $1$ 以上とする。

滑らかな切断からなる $L^2(S)$ の正規直交基底 $(\psi_j)$ と実数 $\mu_j$ で $D\psi_j=\mu_j\psi_j$ 、 $|\mu_j|\to\infty$ となるものがある。 $D$ の閉包 $\bar D$ は自己共役で、 $D$ の自己共役な拡大は $\bar D$ だけである。 $\bar D$ はコンパクトなレゾルベントをもつ。
$t\gt0$ で $e^{-t\bar D^2}=\mathcal{T}_t$ （左辺は関数計算）。とくに $e^{-t\bar D^2}$ はトレースクラスで、滑らかな核 $K_t(x,y)$ をもち、 $S$ の連続な自己準同型の場 $\Phi$ について $\operatorname{Tr}(\Phi e^{-t\bar D^2})=\int_M\operatorname{tr}\bigl(\Phi(x)K_t(x,x)\bigr)d\mu(x)$ 。
$t\to0$ で、 $x$ について一様に $K_t(x,x)=(4\pi t)^{-n/2}\Bigl(1+t\Bigl(\dfrac{s(x)}6-\mathcal{R}(x)\Bigr)+O(t^2)\Bigr)$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 269 件、定義なども含めて 312 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 18 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

熱核によるスペクトル分解✓定理 5.2・熱核の漸近展開
- 熱作用素の基本性質✓命題 5.1・熱核の漸近展開この先をたどる →
- Hilbert–Schmidt 作用素の性質✓命題 6.3・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
- Hilbert–Schmidt の定理✓定理 4.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
- スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理（上で展開済み）
- 接続 Laplacian の計算規則✓補題 2.2・熱核の漸近展開この先をたどる →
- 正規直交基底の特徴づけ（パーセバルの等式）✓定理 6.4・Hilbert 空間の基礎（上で展開済み）
- Schatten クラスとトレースクラス定義 7.3・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
- Schatten クラスの基本性質✓定理 7.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
- トレースの定義と基本性質✓定理 7.7・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- 関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素この先をたどる →
スペクトル定理（エルミート行列）✓定理 4.2・スペクトル定理
- 固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトルこの先をたどる →
- エルミート行列の固有値と固有ベクトル✓補題 3.3・スペクトル定理
  - 随伴の基本性質✓命題 2.2・スペクトル定理この先をたどる →
- 不変部分空間の直交補空間✓補題 4.1・スペクトル定理この先をたどる →
- 直交分解定理✓定理 7.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
- ユニタリ行列の特徴づけ✓命題 3.2・スペクトル定理この先をたどる →
共役作用素定義 5.1・非有界作用素
可閉作用素と閉包定義 4.5・非有界作用素
対称作用素定義 7.1・非有界作用素
共役作用素は閉✓定理 5.4・非有界作用素
- 共役のグラフ✓補題 5.3・非有界作用素この先をたどる →
共役の基本性質✓命題 5.6・非有界作用素
対角作用素のコンパクト性✓命題 3.6・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
- 有限ランク近似✓定理 3.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
正規直交基底の特徴づけ（パーセバルの等式）✓定理 6.4・Hilbert 空間の基礎
- 二重直交補空間と稠密性の判定✓系 3.7・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
- ベッセルの不等式✓定理 6.2・Hilbert 空間の基礎
- 命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎
射影値測度（スペクトル測度）定義 3.1・スペクトル定理と関数計算
有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算
- 射影値測度の基本性質✓命題 3.2・スペクトル定理と関数計算
非有界関数のスペクトル積分定義 4.2・スペクトル定理と関数計算
スペクトル定理（射影値測度版）✓定理 5.5・スペクトル定理と関数計算
- ケーリー変換✓補題 5.1・スペクトル定理と関数計算
- ユニタリ作用素のスペクトル定理✓定理 5.3・スペクトル定理と関数計算この先をたどる →
- スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算この先をたどる →
関数計算定義 6.1・スペクトル定理と関数計算
熱核の存在・一意性・近似✓定理 4.6・熱核の漸近展開
- 誤差の評価✓補題 3.4・熱核の漸近展開この先をたどる →
- Volterra 級数✓補題 4.2・熱核の漸近展開この先をたどる →
- Duhamel の公式✓補題 4.3・熱核の漸近展開この先をたどる →
- 近似核の作用の評価✓補題 4.1・熱核の漸近展開この先をたどる →
- 熱方程式の解の一意性✓補題 4.4・熱核の漸近展開この先をたどる →
熱核の小時間漸近展開✓定理 6.1・熱核の漸近展開
- 熱核の存在・一意性・近似✓定理 4.6・熱核の漸近展開（上で展開済み）
- 熱核によるスペクトル分解✓定理 5.2・熱核の漸近展開（上で展開済み）
係数 a₀ と a₁✓命題 6.3・熱核の漸近展開この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

Dirac 型作用素の熱核の小時間展開✓定理 3.7・指数定理

Dirac 型作用素の熱作用素

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 18 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 18 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件