熱核の漸近展開：パラメトリクス・Volterra 級数・Minakshisundaram–Pleijel 係数

0. この記事の要点

水に落としたインクは、短い時間のあいだはまだ落とした場所のすぐ近くにしか広がっていません。この記事は、曲がった空間の上で熱がどう広がるかを式に書き、時間が短いときの広がり方が空間の曲がり具合でどう補正されるかを求めます。読み終えると、その最初の補正にスカラー曲率が $1/6$ 倍で現れる理由を、証明の流れとともに追えるようになります。

• 閉 Riemann 多様体上の計量束 $E$ に働く Laplace 型作用素 $P=\nabla^*\nabla+F$（$F$ は各点で自己共役な自己準同型）について、熱方程式 $\partial_tu+Pu=0$ の基本解である熱核 $K_t(x,y)$ がただ一つ存在し滑らかであることを、楕円型作用素の一般論に頼らず、具体的な構成で示します（定理 4.6）。
• 材料は Euclid 空間の Gauss 核 $(4\pi t)^{-n/2}e^{-d^2/4t}$ と、正規座標の動径方向の常微分方程式（輸送方程式）で決まる係数 $\Phi_k$ です（命題 3.2）。有限和で打ち切った近似解（パラメトリクス）の誤差を Duhamel の原理と Volterra 級数で打ち消すと真の熱核になり、差は $O(t^{N+1-n/2})$ です。
• 熱核を核とする積分作用素は自己共役なトレースクラス作用素の半群で、そこから $P$ の固有切断の正規直交基底と展開 $K_t=\sum_je^{-t\lambda_j}\varphi_j\otimes\varphi_j^*$ が出ます（定理 5.2）。スペクトル分解を熱核から導くのが本記事の順序です。
• 対角成分は $K_t(x,x)\sim(4\pi t)^{-n/2}\sum_kt^ka_k(x)$ と展開され（定理 6.1）、$a_0=1$、$a_1=\dfrac s6-F$ です（命題 6.3）。各 $a_k(x)$ は $x$ のまわりの計量・接続・$F$ の有限階の Taylor 係数の普遍的な多項式で、関数の Laplacian では曲率とその共変微分の多項式になります（命題 6.4）。
• 関数の Laplacian（Minakshisundaram–Pleijel の展開）と Dirac 型作用素の 2 乗（Weitzenböck の曲率項 $\mathcal{R}$ について $a_1=\frac s6-\mathcal{R}$）はこの一般論の特別な場合です。Dirac 型作用素の自己共役性・コンパクトなレゾルベント・熱作用素のトレース公式もここで示します（定理 7.1）。

この記事で使う事前知識

• 計量束と接続: 各ファイバーに内積をもつベクトル束と、その内積と両立する微分のしかた（接続）。→ Hodge 理論
• 熱核: 熱方程式の基本解で、$t\to0$ で初期値に戻る核のこと。→ 熱核
• 指数写像と正規座標: 点 $y$ から各方向に測地線を進む写像と、それで作る座標。→ 測地線と完備性
• スカラー曲率: 空間の曲がり具合を各点で 1 つの数にまとめたもの（Ricci 曲率のトレース）。→ スカラー曲率
• コンパクト作用素: Hilbert 空間の有界な集合を、相対コンパクトな集合に写す作用素。→ コンパクト作用素
• 自己共役: $(Au,w)=(u,Aw)$ が成り立つこと。→ 自己共役

1. 動機

Hodge 理論 の最後で、閉 Riemann 多様体の熱核の対角成分が $t\to0$ で $(4\pi t)^{-n/2}\bigl(1+\tfrac s6t+O(t^2)\bigr)$ と展開されることを見ました。平坦トーラスでは鏡像法で熱核が厳密に書け、補正は「一周して戻ってくる」測地線からの指数的に小さい項だけでした。曲がった空間では $t$ のべきの補正が現れ、その係数に曲率が入ります。指数定理 の熱核による証明は、この展開の係数を各点で計算し、積分して位相不変量を得るものです。本記事は、この展開そのものを証明します。

考え方は単純です。熱は短い時間には遠くまで広がらないので、$t$ が小さいときの熱核は点 $y$ のごく近くの幾何だけで決まるはずです。$y$ のまわりで正規座標を取れば、計量は $y$ で Euclid 計量に一致し、ずれは $|x|^2$ の程度です。そこで Euclid の Gauss 核に $t$ のべき級数の補正

$$k_t(x,y)=(4\pi t)^{-n/2}e^{-d(x,y)^2/4t}\bigl(\Phi_0(x,y)+t\,\Phi_1(x,y)+t^2\Phi_2(x,y)+\cdots\bigr)$$

を掛けた形の解を探します。これを熱方程式に代入すると、$t$ の各べきの係数がそろって消える条件が、$y$ から出る測地線に沿った 1 階の常微分方程式（輸送方程式）になり、$\Phi_k$ が順に決まります。級数は一般に収束しないので有限項で打ち切り、残った誤差を「誤差を源とする熱方程式を解いて引く」操作（Duhamel の原理）を繰り返して消します。この繰り返しは積分方程式の Neumann 級数（Volterra 級数）で、誤差が $t$ の高いべきで小さいので収束します。

この構成では、熱核の存在が楕円型作用素の正則性理論より先に手に入ります。熱核が連続なら熱作用素は Hilbert–Schmidt 作用素、したがってコンパクトなので、コンパクト作用素 のスペクトル定理から $P$ の固有切断の完全系が出てきます。物理では同じ展開が Schwinger–DeWitt の固有時間展開として知られ、係数 $a_k$ は場の量子論の 1 ループの発散や、スペクトル作用の各項を与えます。

2. 準備

2.1. Laplace 型作用素

本記事を通して、$M$ は向き付けられたコンパクトな $n$ 次元 Riemann 多様体（境界なし）、$\mu$ はその Riemann 測度（体積形式 $\mathrm{vol}$ の定める測度）とします。Riemann 距離 $d$（命題 4.3［測地線と完備性］）を使うので、2〜6 節の議論では $M$ は連結とします。連結でないときは、連結成分（コンパクトなので有限個）ごとに以下を適用し、異なる成分の点の組では核を $0$ とおけば、熱核・熱作用素・固有切断は各成分のものを並べたものになり、主張はそのまま成り立ちます。$E\to M$ は計量束（各ファイバーに実内積または Hermite 内積をもち、それと両立する接続 $\nabla$ をもつベクトル束、Hodge 理論 の Appendix の意味）で、Hermite 内積は第 1 変数について線形とします。$L^2(E)$ の内積を $(u,w)=\int_M\langle u,w\rangle\,d\mu$、滑らかな切断の全体を $\Gamma(E)$ と書きます。接続 Laplacian $\nabla^*\nabla$ は 定義 5.2［Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素］ のもの、関数の Laplacian は $\Delta f=-\operatorname{div}\operatorname{grad}f$ です（命題 3.3［Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素］）。

定義 2.1（Laplace 型作用素）↗

計量束 $E$ の滑らかな自己準同型の場 $F$ で、各点で自己共役（$\langle F(x)e,e'\rangle=\langle e,F(x)e'\rangle$）なものをとり、

$$P=\nabla^*\nabla+F\colon\Gamma(E)\to\Gamma(E)$$

を Laplace 型作用素という。$c_F\ge0$ を $\langle F(x)e,e\rangle\ge-c_F|e|^2$（すべての $x$ と $e\in E_x$）となる最小の数とする。

一般に、主表象が $|\xi|^2$ である 2 階の作用素は、適当な接続をとるとこの形に書けることが知られています（Berline–Getzler–Vergne の第 2 章）。本記事ではこの形を定義として使います。

補題 2.2（接続 Laplacian の計算規則）✓

1. $\nabla^2_{X,Y}s=\nabla_X\nabla_Ys-\nabla_{\nabla_XY}s$ は $X,Y$ について $C^\infty(M)$ 双線形で、$\nabla^*\nabla s=-\operatorname{tr}_g\nabla^2s$ である。とくに座標 $(x^i)$ では $\nabla^*\nabla s=-\sum_{i,j}g^{ij}\bigl(\nabla_{\partial_i}\nabla_{\partial_j}s-\sum_k\Gamma^k_{ij}\nabla_{\partial_k}s\bigr)$。
2. 滑らかな関数 $f$ と $s\in\Gamma(E)$ について $P(fs)=(\Delta f)\,s-2\nabla_{\operatorname{grad}f}s+f\,Ps$。
3. $u,w\in\Gamma(E)$ について $(Pu,w)=(u,Pw)$、$(Pu,u)=\|\nabla u\|^2+(Fu,u)\ge-c_F\|u\|^2$。

証明（補題 2.2）

1。 $X$ を $hX$ に替えると $\nabla_{hX}=h\nabla_X$、$\nabla_{\nabla_{hX}Y}=\nabla_{h\nabla_XY}=h\nabla_{\nabla_XY}$ なので、$X$ について $C^\infty$ 線形です。$Y$ を $hY$ に替えると $\nabla_X(h\nabla_Ys)-\nabla_{(Xh)Y+h\nabla_XY}s=h\bigl(\nabla_X\nabla_Ys-\nabla_{\nabla_XY}s\bigr)$ で、$(Xh)\nabla_Ys$ の項が打ち消し合います。双線形なのでトレース $\operatorname{tr}_g\nabla^2s=\sum_{i,j}g^{ij}\nabla^2_{\partial_i,\partial_j}s$ は枠によらず、局所正規直交枠で計算すると 定義 5.2［Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素］ の定義の $-1$ 倍です。座標では $\nabla_{\partial_i}\partial_j=\sum_k\Gamma^k_{ij}\partial_k$ です。

2。 正規直交枠 $E_i$ で $\nabla^2_{E_i,E_i}(fs)=\bigl(E_iE_if-(\nabla_{E_i}E_i)f\bigr)s+2(E_if)\nabla_{E_i}s+f\nabla^2_{E_i,E_i}s$ です。$E_i(E_if)=\langle\nabla_{E_i}\operatorname{grad}f,E_i\rangle+\langle\operatorname{grad}f,\nabla_{E_i}E_i\rangle$ なので、第 1 項の和は $\sum_i\langle\nabla_{E_i}\operatorname{grad}f,E_i\rangle=\operatorname{div}\operatorname{grad}f=-\Delta f$ です（命題 5.5［Riemann 計量と Levi-Civita 接続］ の発散の定義と 命題 3.3［Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素］）。第 2 項の和は $2\nabla_{\operatorname{grad}f}s$ です。1 の符号をつけ、$F(fs)=fFs$ を足せば主張です。

3。 補題 8.6［Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素］ を $\eta=\nabla w$ に使うと $(u,\nabla^*\nabla w)=(\nabla u,\nabla w)$ で、右辺は $u,w$ について対称（Hermite）です。$F$ は各点で自己共役なので $(Fu,w)=(u,Fw)$ です。$w=u$ とおき $c_F$ の定義を使えば不等式です。

∎

命題 2.3（関数の Laplacian と Dirac 型作用素の 2 乗）✓

1. 自明な直線束 $M\times\mathbb{C}$（$\nabla=d$、$F=0$）では $P=\Delta$（関数の Laplacian）である。
2. $S$ を Clifford 加群、$D$ をその Dirac 型作用素とする（定義 5.2［Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素］）。Weitzenböck 公式 $D^2=\nabla^*\nabla+\mathcal{R}$（定理 5.3［Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素］）の曲率項 $\mathcal{R}$ は各点で自己共役である。したがって $D^2$ は Laplace 型作用素である。

証明（命題 2.3）

1。 補題 2.2 の 2 で $s=1$（平行な切断）とすると $\nabla^*\nabla f=\Delta f$ です。

2。 補題 8.6［Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素］ により、$u,w\in\Gamma(S)$ について $(D^2u,w)=(Du,Dw)=(u,D^2w)$、$(\nabla^*\nabla u,w)=(u,\nabla^*\nabla w)$ なので、$B=\mathcal{R}-\mathcal{R}^*$（$\mathcal{R}^*$ は各点の随伴）は $(Bu,w)=0$ をみたします。$B$ は連続な自己準同型の場です。$x_0\in M$、$e\in S_{x_0}$ に対し $u(x_0)=e$ となる $u\in\Gamma(S)$ をとり（局所枠の係数に切り落とし関数を掛ける）、$\rho\ge0$ を $\rho(x_0)\gt0$ の滑らかな関数として $w=\rho Bu$ とおくと $\int_M\rho|Bu|^2d\mu=0$、よって $x_0$ で $Be=0$ です。

∎

2.2. 一様な正規近傍と動径方向の計算

以下の構成は、すべての点 $y$ のまわりで正規座標を同じ大きさの範囲 $2\varepsilon$ で使えることを前提にします。この節は、そのような $\varepsilon$ がコンパクト性から取れること（補題 2.4）と、$y$ からの距離と動径方向の微分を正規座標で計算する道具（補題 2.5）をそろえるためのものです。

補題 2.4（一様な正規近傍（コンパクトな場合））✓

$\varepsilon\gt0$ があって次が成り立つ。

1. 各 $y\in M$ で $\exp_y$ は $B_{2\varepsilon}(0)\subset T_yM$ から距離球 $B(y,2\varepsilon)=\lbrace x:d(x,y)\lt2\varepsilon\rbrace$ への微分同相で、$d(\exp_yv,y)=|v|$。
2. $\Psi(y,v)=(\exp_yv,\,y)$ は $\mathcal{V}=\lbrace(y,v)\in TM:|v|\lt2\varepsilon\rbrace$ から $U=\lbrace(x,y)\in M\times M:d(x,y)\lt2\varepsilon\rbrace$ への微分同相である。とくに $d^2$ は $U$ 上で滑らかである。
3. さらに、直径が $6\varepsilon$ 未満の $M$ の部分集合は、$E$ の自明化と $TM$ の正規直交枠をもつ一つの座標近傍に含まれるようにできる。

証明（補題 2.4）

各 $p$ に 補題 4.4［測地線と完備性］ の $W_p,\delta_p$ をとり、コンパクト性から有限個の $W_{p_1},\dots,W_{p_m}$ で $M$ を覆い、$2\varepsilon\lt\min_i\delta_{p_i}$ とします。$y\in W_{p_i}$ なら $\exp_y$ は $B_{\delta_{p_i}}(0)\supset B_{2\varepsilon}(0)$ 上で像への微分同相なので、定理 4.2［測地線と完備性］ から $d(y,\exp_yv)=|v|$、命題 4.3［測地線と完備性］ から像は $B(y,2\varepsilon)$ です。これが 1 です。

$\Psi$ は滑らかで（命題 2.4［測地線と完備性］ の 1）、$\Psi(y,v)=\Psi(y',v')$ なら $y=y'$、$\exp_yv=\exp_yv'$ から $v=v'$ なので単射です。$y$ のまわりの座標と $TM$ の局所自明化で $d\Psi$ はブロック三角で、対角ブロックは $d(\exp_y)_v$ と恒等写像なので可逆です。逆関数定理（系 2.2［部分多様体と正則値定理］）から $\Psi$ は局所微分同相で、単射なので像 $U$（1 により上の集合）への微分同相です。$d^2(\Psi(y,v))=|v|^2$ は $(y,v)$ について滑らかなので 2 が従います。

3 は、自明化と枠をもつ座標近傍による有限開被覆の Lebesgue 数を $\lambda$ として $6\varepsilon\lt\lambda$ に取り直せばよい（距離 $d$ は多様体の位相を定め（命題 4.3［測地線と完備性］）、$M$ はコンパクトなので、補題 4.2［距離空間］ により Lebesgue 数がとれる）。

∎

以下 $\varepsilon$ をこのように固定します。$y$ を固定し、$T_yM$ の正規直交基底 $e_1,\dots,e_n$ によって $x=\exp_y\bigl(\sum_ix^ie_i\bigr)$ と書く座標を $y$ を中心とする正規座標と呼びます。$U$ 上の次の量を使います。

• $j(x,y)\gt0$：正規座標での $\sqrt{\det(g_{ij}(x))}$。Riemann 測度は正規座標で $d\mu(x)=j(x,y)\,dx^1\cdots dx^n$ です。$g_{ij}(x)=\langle d(\exp_y)_v(e_i),d(\exp_y)_v(e_j)\rangle$（$x=\exp_yv$）なので、$j$ は $d(\exp_y)_v$ の正規直交基底に関する行列式の絶対値で、補題 2.4 の 2 により $U$ 上で滑らかです。$j(y,y)=1$ です。
• $\tau(x,y)\colon E_y\to E_x$：動径測地線 $s\mapsto\exp_y(sv)$（$0\le s\le1$、$x=\exp_yv$）に沿った $E$ の平行移動。局所自明化で係数が $(s,y,v)$ について滑らかな線形常微分方程式の解なので、系 8.5［解の存在と一意性］ により $U$ 上で滑らかです（補題 2.4 の 3 により曲線は一つの座標近傍に留まる）。$\tau(y,y)=\mathrm{id}$ です。
• $\mathcal{X}$：$y$ を固定した $B(y,2\varepsilon)$ 上の動径ベクトル場 $\mathcal{X}(x)=d(\exp_y)_v(v)$（$x=\exp_yv$）。正規座標では $\mathcal{X}=\sum_ix^i\partial_i$ です。

点 y を中心とする正規座標の球 B(y,2ε)。y から測地線が放射状に出ていて、点 x での動径ベクトル場 X は y から遠ざかる向きを向き、距離 r は y から x までの測地線の長さである。

補題 2.5（動径方向の計算）✓

$y$ を固定し、$B(y,2\varepsilon)$ 上の関数 $r^2=d(\cdot,y)^2$ と $j=j(\cdot,y)$ を考える。

1. $\operatorname{grad}(r^2/2)=\mathcal{X}$、$|\mathcal{X}|^2=r^2$。
2. $\operatorname{div}\mathcal{X}=n+\dfrac{\mathcal{X}j}{j}$。

証明（補題 2.5）

1。 $x=\exp_yv$ で $r^2/2=|v|^2/2$ です（補題 2.4 の 1）。$w\in T_yM$ について、$d(r^2/2)\bigl(d(\exp_y)_v(w)\bigr)=\langle v,w\rangle=\langle d(\exp_y)_v(v),d(\exp_y)_v(w)\rangle$ が Gauss の補題（定理 4.1［測地線と完備性］）から成り立ち、$d(\exp_y)_v$ は全射なので $\operatorname{grad}(r^2/2)=\mathcal{X}$ です。$w=v$ とすれば $|\mathcal{X}|^2=|v|^2=r^2$ です。

2。 正規座標で $\mathcal{X}=\sum_ix^i\partial_i$、$\sqrt{|g|}=j$ なので、命題 5.5［Riemann 計量と Levi-Civita 接続］ から $\operatorname{div}\mathcal{X}=j^{-1}\sum_i\partial_i(jx^i)=n+j^{-1}\sum_ix^i\partial_ij$ です。

∎

3. 形式解と輸送方程式

3.1. Gauss 核の補正

$U$ 上で

$$q_t(x,y)=(4\pi t)^{-n/2}e^{-d(x,y)^2/4t}\qquad(t\gt0)$$

とおきます。Euclid 空間ではこれが熱核そのもので、$(\partial_t+\Delta)q_t=0$ です。曲がった空間ではずれが出ますが、そのずれは $j$ の動径微分だけで書けます。Euclid 空間では $j=1$ なのでずれは $0$ で、次の補題の右辺に残る項が「曲がっていることの影響」です。これを打ち消す補正を、3.2 節で作ります。

補題 3.1（Gauss 核と Laplace 型作用素）✓

$y$ を固定し、$x$ について $B(y,2\varepsilon)$ 上で考える。

1. $\operatorname{grad}_xq_t=-\dfrac{q_t}{2t}\mathcal{X}$、$(\partial_t+\Delta_x)q_t=\dfrac{q_t}{2t}\cdot\dfrac{\mathcal{X}j}{j}$。
2. $\Phi$ を $B(y,2\varepsilon)$ 上の $\operatorname{Hom}(E_y,E)$ の滑らかな切断（$x$ について $E_x$ に値をとる $E_y$ 上の線形写像）、$k\ge0$ を整数とすると

$$(\partial_t+P_x)\bigl(q_t\,t^k\Phi\bigr)=q_t\,t^{k-1}\Bigl(\nabla_{\mathcal{X}}\Phi+\Bigl(k+\frac{\mathcal{X}j}{2j}\Bigr)\Phi\Bigr)+q_t\,t^k\,P_x\Phi .$$

証明（補題 3.1）

1。 補題 2.5 の 1 から $\operatorname{grad}q_t=q_t\cdot\bigl(-\tfrac1{4t}\bigr)\operatorname{grad}r^2=-\tfrac{q_t}{2t}\mathcal{X}$ です。$\operatorname{div}(hX)=h\operatorname{div}X+Xh$ と 補題 2.5 の 2 から

$$\Delta q_t=\operatorname{div}\Bigl(\frac{q_t}{2t}\mathcal{X}\Bigr)=\frac1{2t}\Bigl(q_t\Bigl(n+\frac{\mathcal{X}j}{j}\Bigr)+\langle\operatorname{grad}q_t,\mathcal{X}\rangle\Bigr)=\frac{q_t}{2t}\Bigl(n+\frac{\mathcal{X}j}{j}-\frac{r^2}{2t}\Bigr)$$

で（$|\mathcal{X}|^2=r^2$）、$\partial_tq_t=q_t\bigl(-\tfrac n{2t}+\tfrac{r^2}{4t^2}\bigr)$ と足すと主張です。

2。 補題 2.2 の 2（$\operatorname{Hom}(E_y,E)$ に値をとる切断でも、$E_y$ の基底ごとに $E$ の切断とみて同じ）を $f=q_t$ に使い、1 を代入すると

$$(\partial_t+P)(q_tt^k\Phi)=t^k\bigl((\partial_t+\Delta)q_t\bigr)\Phi+kt^{k-1}q_t\Phi+\frac{t^kq_t}{t}\nabla_{\mathcal{X}}\Phi+t^kq_tP\Phi$$

で、これを整理したものが主張です。

∎

3.2. 輸送方程式とその解

補題 3.1 の 2 から、$\Phi=\sum_{k=0}^Nt^k\Phi_k$ について

$$(\partial_t+P_x)\Bigl(q_t\sum_{k=0}^Nt^k\Phi_k\Bigr)=q_t\sum_{k=0}^Nt^{k-1}\Bigl(\nabla_{\mathcal{X}}\Phi_k+\Bigl(k+\frac{\mathcal{X}j}{2j}\Bigr)\Phi_k+P_x\Phi_{k-1}\Bigr)+q_t\,t^NP_x\Phi_N$$

です（$\Phi_{-1}=0$）。そこで $t$ の各べきの係数を消す条件

$$\nabla_{\mathcal{X}}\Phi_k+\Bigl(k+\frac{\mathcal{X}j}{2j}\Bigr)\Phi_k=-P_x\Phi_{k-1}\qquad(k=0,1,2,\dots)$$

を輸送方程式と呼びます。$\mathcal{X}$ は $y$ で $0$ になるので、これは $y$ から出る各測地線に沿った常微分方程式で、$y$ で特異点をもちます。$y$ で滑らかであることと $\Phi_0(y,y)=\mathrm{id}$ を課すと、解はただ一つに決まり、次のように書けます。積分の式は複雑に見えますが、中身は $y$ から出る測地線に沿った 1 階の常微分方程式を解いただけです（証明で $sG'+kG=-H$ の形に直します）。積分の中の $\tau^{-1}$ は、測地線上の各点の量を平行移動で $y$ のファイバーに引き戻し、一つのベクトル空間の中で常微分方程式として扱うために入っています。

命題 3.2（輸送方程式の解）✓

$x\in B(y,2\varepsilon)$ を $x=\exp_yv$ と書き、$x_\rho=\exp_y(\rho v)$（$0\le\rho\le1$）とする。$U$ 上の $\operatorname{Hom}(E_y,E_x)$ に値をとる切断を

$$\Phi_0(x,y)=j(x,y)^{-1/2}\tau(x,y),$$$$\Phi_k(x,y)=-j(x,y)^{-1/2}\,\tau(x,y)\int_0^1\rho^{k-1}\,\tau(x_\rho,y)^{-1}\bigl(j^{1/2}P_x\Phi_{k-1}\bigr)(x_\rho,y)\,d\rho\qquad(k\ge1)$$

で帰納的に定める（$P_x$ は第 1 変数に作用する）。このとき各 $\Phi_k$ は $U$ 上で滑らかで、各 $y$ について輸送方程式をみたし、$\Phi_0(y,y)=\mathrm{id}$、

$$\Phi_k(y,y)=-\frac1k\bigl(P_x\Phi_{k-1}\bigr)(y,y)\qquad(k\ge1)$$

である。

証明（命題 3.2）

滑らかさ。 $k$ についての帰納法です。$\Phi_{k-1}$ が $U$ 上で滑らかなら $P_x\Phi_{k-1}$ も滑らかで、被積分関数は 補題 2.4 の 2 の座標 $(y,v)$ と $\rho\in[0,1]$ について滑らかです（$x_\rho=\exp_y(\rho v)$、$\tau$ と $j$ は滑らか）。コンパクトな区間上の積分なので、積分記号下の微分（系 7.4［ルベーグ積分の定義と収束定理］）を繰り返して $\Phi_k$ も滑らかです。

方程式。 $\Phi=j^{-1/2}\Psi$ と書くと $\nabla_{\mathcal{X}}\Phi=j^{-1/2}\nabla_{\mathcal{X}}\Psi-\tfrac12j^{-3/2}(\mathcal{X}j)\Psi$ なので、輸送方程式は

$$\nabla_{\mathcal{X}}\Psi_k+k\Psi_k=-j^{1/2}P_x\Phi_{k-1}$$

と同値です。単位ベクトル $\theta\in T_yM$ と $\gamma(s)=\exp_y(s\theta)$（$0\le s\lt2\varepsilon$）を固定します。$\mathcal{X}(\gamma(s))=d(\exp_y)_{s\theta}(s\theta)=s\dot\gamma(s)$ なので、$\gamma$ 上では $\nabla_{\mathcal{X}}=s\nabla_{\dot\gamma}$ です。$\tau_s=\tau(\gamma(s),y)$ は $\gamma$ に沿った平行移動なので、$\Psi(\gamma(s))=\tau_sG(s)$（$G(s)\in\operatorname{End}(E_y)$）と書くと $\nabla_{\dot\gamma}\Psi=\tau_sG'(s)$ です。よって方程式は

$$sG'(s)+kG(s)=-H(s),\qquad H(s)=\tau_s^{-1}\bigl(j^{1/2}P_x\Phi_{k-1}\bigr)(\gamma(s),y)$$

となります。$k=0$ では $H=0$ で、$\Psi_0=\tau$ は $G=\mathrm{id}$（定数）に当たるので解です。$k\ge1$ では、定義の式で $x=\gamma(s)$、$v=s\theta$、$x_\rho=\gamma(\rho s)$ なので $G(s)=-\int_0^1\rho^{k-1}H(\rho s)\,d\rho=-s^{-k}\int_0^s\sigma^{k-1}H(\sigma)\,d\sigma$（$s\gt0$）です。$s^kG(s)=-\int_0^s\sigma^{k-1}H(\sigma)d\sigma$ を微分すると $ks^{k-1}G+s^kG'=-s^{k-1}H$、すなわち $sG'+kG=-H$ です。

対角での値。 $x=y$ では $v=0$、$x_\rho=y$、$j(y,y)=1$、$\tau(y,y)=\mathrm{id}$ なので、$\Phi_0(y,y)=\mathrm{id}$、$\Phi_k(y,y)=-\int_0^1\rho^{k-1}d\rho\cdot(P_x\Phi_{k-1})(y,y)=-\frac1k(P_x\Phi_{k-1})(y,y)$ です。

∎

一意性について一言添えます。$k\ge1$ の同次方程式 $sG'+kG=0$ の解は $Cs^{-k}$ で、$s=0$ で有界なのは $C=0$ だけです。$k=0$ では $G$ は定数で、$\Phi_0(y,y)=\mathrm{id}$ で決まります。したがって $y$ で滑らかな解は上のものに限られ、$\Phi_k$ は計量・接続・$F$ だけから標準的に決まります。

3.3. 近似熱核とその誤差

$\vartheta\colon\mathbb{R}\to[0,1]$ を、$s\le\varepsilon^2$ で $1$、$s\ge(3\varepsilon/2)^2$ で $0$ となる滑らかな関数とし（補題 2.3［Schwartz 空間と緩増加超関数］ の 1）、$\chi(x,y)=\vartheta(d(x,y)^2)$ とおきます。$\chi$ は $U$ 上で滑らか（補題 2.4 の 2）で、$d\ge3\varepsilon/2$ では $0$ なので、$M\times M$ 上で滑らかです。

定義 3.3（近似熱核（パラメトリクス））↗

整数 $N\ge0$ について、$(0,\infty)\times M\times M$ 上の $\operatorname{Hom}(E_y,E_x)$ に値をとる滑らかな核を

$$k^N_t(x,y)=\chi(x,y)\,q_t(x,y)\sum_{k=0}^Nt^k\Phi_k(x,y)$$

（$U$ の外では $0$）と定め、その誤差 $r^N_t(x,y)=(\partial_t+P_x)k^N_t(x,y)$ とおく。

$M\times M$ 上の核の $C^\ell$ ノルム $\|\cdot\|_{C^\ell}$ は、$M$ の有限個の座標近傍と $E$ の自明化を固定し、そのコンパクトな部分集合の積の上で、成分の $\ell$ 階までの偏導関数の上限の最大値として定めます。$M$ 上の切断についても同様です。

補題 3.4（誤差の評価）✓

$T\gt0$、$\ell\ge0$ について定数 $C$ があり、$0\lt t\le T$ で $\|r^N_t\|_{C^\ell}\le Ct^{N-n/2-\ell}$ である。

証明（補題 3.4）

$w_t=q_t\sum_{k\le N}t^k\Phi_k$ とおくと、補題 2.2 の 2 から $(\partial_t+P_x)(\chi w_t)=\chi(\partial_t+P_x)w_t+(\Delta_x\chi)w_t-2\nabla_{\operatorname{grad}_x\chi}w_t$ で、輸送方程式（命題 3.2）と上の計算から $(\partial_t+P_x)w_t=q_tt^NP_x\Phi_N$ です。

$U$ 上で $d^2$ は滑らかなので、$q_t$ を $(x,y)$ について $|\alpha|$ 回微分すると、$q_t$ に「$t^{-1}$ の高々 $|\alpha|$ 次の多項式で係数が滑らかなもの」を掛けた形になります。$0\lt t\le T$ ではその多項式は $C\,t^{-|\alpha|}$ で抑えられ、$q_t\le(4\pi t)^{-n/2}$ です。よって第 1 項 $\chi q_tt^NP_x\Phi_N$ の $C^\ell$ ノルムは $Ct^{N-n/2-\ell}$ 以下です。残りの 2 項は $\chi$ の微分を含むので、台は $\varepsilon\le d\le3\varepsilon/2$ に入り、そこでは $e^{-d^2/4t}\le e^{-\varepsilon^2/4t}$ です。$e^{-\varepsilon^2/4t}\le C_mt^m$（任意の $m$）なので、これらの $C^\ell$ ノルムは $t$ の任意のべきで抑えられます。

∎

熱核の構成の流れ。左から右へ、局所的な形式解を大域的な核に貼り合わせ、誤差を Volterra 級数で消して真の熱核を得る。

4. 熱核の構成

4.1. 近似核の作用

$V$ を有限次元の内積空間とし、$E\otimes V$ の連続な切断 $g$ に対して

$$(k^N_ug)(x)=\int_Mk^N_u(x,z)\,g(z)\,d\mu(z)$$

と書きます（$V$ は後で $E_y^*$ の役をします）。次の補題が構成全体の技術的な要です。正規座標で $z=\exp_x(\sqrt u\,\xi)$ と変数を変えると、Gauss 核が $u$ によらない $e^{-|\xi|^2/4}$ になり、残りは $\sqrt u$ について滑らかな関数になります。

補題 4.1（近似核の作用の評価）✓

$N\ge0$、$T\gt0$ を固定する。定数 $C_0$、$C_m$ があって $0\lt u\le T$ で次が成り立つ。

1. $\sup_x\int_M|k^N_u(x,z)|\,d\mu(z)\le C_0$、$\sup_z\int_M|k^N_u(x,z)|\,d\mu(x)\le C_0$。
2. $g$ が連続なら、$u\to0$ で $k^N_ug\to g$（$M$ 上一様）。
3. $g$ が $C^m$ 級なら $k^N_ug$ も $C^m$ 級で $\|k^N_ug\|_{C^m}\le C_m\|g\|_{C^m}$ であり、$m$ 階までの導関数は $(u,x)$ について連続である。$g$ が $C^1$ 級なら $|\partial_u(k^N_ug)(x)|\le C_1u^{-1/2}\|g\|_{C^1}$。

証明（補題 4.1）

$x_0\in M$ を固定し、$W=B(x_0,\varepsilon/2)$ とします。$x\in W$、$d(x,z)\lt2\varepsilon$ となる点はすべて $B(x_0,5\varepsilon/2)$（直径 $5\varepsilon$ 以下）に入るので、補題 2.4 の 3 により一つの座標近傍の中で $E$ の自明化と $TM$ の正規直交枠 $e_1(x),\dots,e_n(x)$ が使えます。$w\in\mathbb{R}^n$ に $\sum_iw^ie_i(x)\in T_xM$ を対応させ、$z=\exp_x(w)$ と書きます。$k^N_u(x,\cdot)$ の台は $d(x,z)\le3\varepsilon/2$ に入り、そこで $d(x,z)=|w|$、$d\mu(z)=j(z,x)\,dw$ です（補題 2.4 の 1 と $j$ の定義）。よって

$$(k^N_ug)(x)=\int_{\mathbb{R}^n}(4\pi u)^{-n/2}e^{-|w|^2/4u}\,H(x,w,u)\,dw,\qquad H(x,w,u)=\vartheta(|w|^2)\sum_{k=0}^Nu^k\Phi_k(x,\exp_xw)\,g(\exp_xw)\,j(\exp_xw,x)$$

で、$|w|\ge3\varepsilon/2$ では $H=0$ です。$w=\sqrt u\,\xi$ と変数を変えると（定理 4.5［ℝ^d の変数変換公式と極座標］）

$$(k^N_ug)(x)=(4\pi)^{-n/2}\int_{\mathbb{R}^n}e^{-|\xi|^2/4}\,H(x,\sqrt u\,\xi,u)\,d\xi$$

です。Gauss 積分（定理 3.3［広義積分・パラメータ積分とガンマ関数］）と Fubini の定理から $(4\pi)^{-n/2}\int e^{-|\xi|^2/4}d\xi=1$ です。$(x,w)\mapsto(x,\exp_xw)$ は $U$ への滑らかな写像なので、$H$ は $g$ と同じ回数だけ $(x,w)$ について微分でき、その導関数は $\overline W\times\lbrace|w|\le3\varepsilon/2\rbrace\times[0,T]$ 上で $g$ の対応するノルムの定数倍で抑えられます。

1。 $g$ を除いた $H_0=\vartheta\sum_ku^k\Phi_k\,j$ を使えば $\int|k^N_u(x,z)|d\mu(z)\le\sup|H_0|$ です。第 2 の評価は $x=\exp_z(w)$ と書いて同様です（このときは第 2 変数 $z$ を中心とする正規座標で書くことになり、$\Phi_k(\exp_zw,z)$ と $d\mu(x)=j(\exp_zw,z)\,dw$ が現れる）。

2。 $H(x,0,0)=\Phi_0(x,x)g(x)j(x,x)=g(x)$ です（命題 3.2）。$H$ はコンパクト集合上で一様連続なので、$|H(x,w,u)-H(x,0,0)|\le\omega(|w|+u)$ となる有界な $\omega$ で $\omega(\delta)\to0$（$\delta\to0$）のものがとれ、

$$|(k^N_ug)(x)-g(x)|\le(4\pi)^{-n/2}\int e^{-|\xi|^2/4}\,\omega(\sqrt u|\xi|+u)\,d\xi$$

の右辺は優収束定理（定理 7.3［ルベーグ積分の定義と収束定理］）で $0$ に収束します。$x_0$ は任意で、$M$ は有限個の $W$ で覆えるので一様収束です。

3。 $x$ についての導関数は積分記号下で取れ（系 7.4［ルベーグ積分の定義と収束定理］）、被積分関数は $C\|g\|_{C^m}e^{-|\xi|^2/4}$ で抑えられます。$(u,x)$ についての連続性も優収束定理から従います。$u$ についての導関数は

$$\partial_u\bigl(H(x,\sqrt u\,\xi,u)\bigr)=\frac1{2\sqrt u}\sum_i\xi^i\,\partial_{w^i}H(x,\sqrt u\,\xi,u)+\partial_uH(x,\sqrt u\,\xi,u)$$

で、$|\cdot|\le C(1+|\xi|)u^{-1/2}\|g\|_{C^1}$（$u\le T$ で $1\le T^{1/2}u^{-1/2}$）です。$(1+|\xi|)e^{-|\xi|^2/4}$ は可積分なので、積分記号下で微分して主張の評価を得ます。

∎

4.2. Volterra 級数

$(0,T]\times M\times M$ 上の核 $A,B$（$\operatorname{Hom}(E_y,E_x)$ に値をとる連続な切断で、$|A_t|\le Ct^a$、$|B_t|\le Ct^b$、$a,b\ge0$）に対し、時間についての畳み込みを

$$(A*B)_t(x,y)=\int_0^t\int_MA_{t-s}(x,z)\,B_s(z,y)\,d\mu(z)\,ds$$

と定めます。ねらいは次のとおりです。近似核 $k^N$ は熱方程式を誤差 $r$ だけ外します。$r$ を源として $k^N$ で時刻 $t$ まで運んだ $k^N*r$ を引くと、誤差は $-r*r$ に小さくなります（4.3 節の Duhamel の公式による）。これも同じように引く、と繰り返していく操作の総和が $Q=\sum(-1)^{m-1}r^{*m}$ で、符号が交互になるのは毎回「引く」ためです。$r$ が $t$ の高いべきで小さいので、$m$ 回の畳み込みは $1/(m-1)!$ 程度の大きさになり、和が収束します。積分変数を $s=t\sigma$ と置くと $\sigma\in(0,1)$ 上の有界な連続関数の積分になるので、優収束定理から $A*B$ は $(t,x,y)$ について連続です。

補題 4.2（Volterra 級数）✓

$T\gt0$、$\ell\ge0$、$a\ge0$ とし、核 $r$ は $(x,y)$ についての $\ell$ 階までの導関数が $(t,x,y)$ について連続で、$0\lt t\le T$ で $\|r_t\|_{C^\ell}\le C_1t^a$ をみたすとする。$r^{*1}=r$、$r^{*(m+1)}=r*r^{*m}$ とおくと、級数

$$Q=\sum_{m=1}^\infty(-1)^{m-1}r^{*m}$$

は $(x,y)$ についての $\ell$ 階までの導関数とともに $(0,T]\times M\times M$ 上で一様に絶対収束する。$Q$ は $r$ と同じ正則性をもち、$\|Q_t\|_{C^\ell}\le C_2t^a$、かつ $Q=r-r*Q$ である。

証明（補題 4.2）

$(r*B)_t$ を $(x,y)$ について微分するとき、$x$ についての導関数は $r_{t-s}(x,z)$ に、$y$ についての導関数は $B_s(z,y)$ にかかり、積分記号下で微分できます（系 7.4［ルベーグ積分の定義と収束定理］。被積分関数の導関数は $s$ について可積分な定数で抑えられる）。したがって、座標近傍の取り方だけで決まる定数 $C_3$ について

$$\|(r*B)_t\|_{C^\ell}\le C_3\int_0^t\|r_{t-s}\|_{C^\ell}\,\|B_s\|_{C^\ell}\,ds$$

です。$\|r^{*m}_s\|_{C^\ell}\le c_ms^{a+m-1}$ と仮定すると、$(t-s)^a\le T^a$ と $\int_0^ts^{a+m-1}ds\le t^{a+m}/m$ から

$$\|r^{*(m+1)}_t\|_{C^\ell}\le C_3C_1T^a\,c_m\,\frac{t^{a+m}}m$$

なので、$c_1=C_1$、$c_{m+1}=C_3C_1T^ac_m/m$、すなわち $c_m=C_1(C_3C_1T^a)^{m-1}/(m-1)!$ と取れます。よって

$$\sum_m\|r^{*m}_t\|_{C^\ell}\le C_1t^a\sum_{m\ge1}\frac{(C_3C_1T^{a+1})^{m-1}}{(m-1)!}=C_1e^{C_3C_1T^{a+1}}\,t^a$$

で、導関数を含めて一様に絶対収束し、極限は同じ正則性をもちます。最後に、一様収束から和と積分を交換して

$$r-r*Q=r+\sum_{m\ge1}(-1)^mr*r^{*m}=r+\sum_{m\ge2}(-1)^{m-1}r^{*m}=Q$$

です。

∎

4.3. Duhamel の公式

ねらいは、源 $G$ のある熱方程式 $(\partial_t+P)W=G$ の近似解を、各時刻 $s$ の源 $G_s$ を $k^N_{t-s}$ で時刻 $t$ まで運んで足し合わせた形で作ることです。証明の要点は $t$ での微分です。積分の上端 $t$ が動くことで $G_t$ が出て、被積分関数の $t$ 依存から $-P$ の項と誤差 $r^N$ の項が出ます。優収束定理が並ぶのは、$u^{-1/2}$ という特異性を可積分な関数で抑えるためです。

補題 4.3（Duhamel の公式）✓

$T\gt0$、$a\ge0$ とし、$G$ を $(0,T]\times M$ 上の $E\otimes V$ の切断で、$x$ についての 2 階までの導関数が $(s,x)$ について連続であり、$\|G_s\|_{C^2}\le Cs^a$ をみたすものとする。

$$W_t(x)=\int_0^t\bigl(k^N_{t-s}G_s\bigr)(x)\,ds$$

とおくと、$|W_t(x)|\le C_0Ct^{a+1}$ で、$W$ は $(0,T)\times M$ 上で $t$ について 1 回、$x$ について 2 回連続的微分可能であり、

$$(\partial_t+P)W_t=G_t+\int_0^t\bigl(r^N_{t-s}G_s\bigr)(x)\,ds,\qquad(r^N_ug)(x)=\int_Mr^N_u(x,z)g(z)\,d\mu(z)$$

が成り立つ。

証明（補題 4.3）

評価は 補題 4.1 の 1 から $|k^N_{t-s}G_s|\le C_0Cs^a$ を積分したものです。$x$ を固定し $h(u,s)=(k^N_uG_s)(x)$ とおきます。

$x$ についての微分。 補題 4.1 の 3 から $|\partial_x^\alpha h(u,s)|\le C_2Cs^a$（$|\alpha|\le2$）で、これは $s$ について可積分なので、積分記号下で微分でき、$PW_t=\int_0^tP(k^N_{t-s}G_s)\,ds$ は連続です。

$t$ についての微分。 $\delta\gt0$ について

$$W_{t+\delta}-W_t=\int_t^{t+\delta}h(t+\delta-s,s)\,ds+\int_0^t\bigl(h(t+\delta-s,s)-h(t-s,s)\bigr)ds$$

です。第 1 項について、$s\in[t,t+\delta]$ で

$$|h(t+\delta-s,s)-G_t(x)|\le|k^N_{t+\delta-s}(G_s-G_t)(x)|+|(k^N_{t+\delta-s}G_t)(x)-G_t(x)|\le C_0\sup|G_s-G_t|+o(1)$$

（補題 4.1 の 1、2。$G$ は $[t/2,T]\times M$ 上で一様連続）なので、$\delta^{-1}$ 倍は $G_t(x)$ に収束します。第 2 項の被積分関数は $\int_{t-s}^{t-s+\delta}\partial_uh(u,s)\,du$ で、補題 4.1 の 3 から $|\partial_uh(u,s)|\le C_1Cu^{-1/2}s^a$ です。$\delta^{-1}\int_{t-s}^{t-s+\delta}u^{-1/2}du\le(t-s)^{-1/2}$ は $s$ について可積分なので、優収束定理（定理 7.3［ルベーグ積分の定義と収束定理］）から第 2 項の $\delta^{-1}$ 倍は $\int_0^t\partial_uh(t-s,s)\,ds$ に収束します。$\delta\lt0$ では、$W_{t+\delta}-W_t=-\int_{t+\delta}^th(t-s,s)\,ds+\int_0^{t+\delta}\bigl(h(t+\delta-s,s)-h(t-s,s)\bigr)ds$ と分け、第 1 項は上と同じく扱います。第 2 項では $a=t+\delta-s\ge0$ について $|\delta|^{-1}\int_a^{a+|\delta|}u^{-1/2}du=2/(\sqrt{a+|\delta|}+\sqrt a)\le2(t-s)^{-1/2}$ が $\delta$ によらない可積分な優関数になるので、同じく優収束定理が使えます。こうして

$$\partial_tW_t=G_t(x)+\int_0^t\partial_uh(t-s,s)\,ds$$

です。$u\gt0$ では $k^N_u$ は滑らかなので $z$ についての積分記号下で微分でき、$\partial_uh(u,s)=\int_M\partial_uk^N_u(x,z)G_s(z)\,d\mu=(r^N_uG_s)(x)-P(k^N_uG_s)(x)$（$r^N$ の定義）です。代入して $\partial_tW_t=G_t+\int_0^t(r^N_{t-s}G_s)ds-PW_t$ を得ます。$\partial_tW_t=G_t(x)+\int_0^t\partial_uh(t-s,s)\,ds$ は $(t,x)$ について連続です。実際、補題 4.1 の 3 の証明の式から $\partial_uh(u,s)$ は $u\gt0$、$s\gt0$、$x$ について連続で（$G$ とその 1 階の導関数が $(s,x)$ について連続なので、優収束定理による）、$s=t\sigma$ と置くと被積分関数 $t\,\partial_uh(t(1-\sigma),t\sigma)$ は $t$ が $(0,T)$ のコンパクトな部分区間を動くとき $C(1-\sigma)^{-1/2}$ で抑えられるので、優収束定理から積分も連続です。

∎

4.4. 一意性と存在

補題 4.4（熱方程式の解の一意性）✓

$T\gt0$ とし、$u\colon[0,T)\times M\to E$（$u(t,x)\in E_x$）は連続で、$(0,T)\times M$ 上で $\partial_tu$ と $x$ についての 2 階までの導関数が存在して連続、$(\partial_t+P)u=0$、$u(0,\cdot)=0$ をみたすとする。このとき $u=0$ である。

証明（補題 4.4）

$\mathcal{E}(t)=\|u(t)\|^2$ は $[0,T)$ で連続、$\mathcal{E}(0)=0$ です。$0\lt t\lt T$ では積分記号下で微分でき、補題 2.2 の 3 から（3 は $C^2$ 級の切断でも成り立ちます。根拠の 補題 8.6［Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素］ の証明は $C^1$ 級のベクトル場 $Y$ について $\int_M\operatorname{div}Y\,d\mu=0$ となることに帰着し、これは 1 の分割（定理 6.3［部分多様体と正則値定理］）で台を座標近傍に分け、座標表示 $\sqrt{|g|}\operatorname{div}Y=\sum_i\partial_i(\sqrt{|g|}Y^i)$（命題 5.5［Riemann 計量と Levi-Civita 接続］）の各項を Fubini の定理（定理 3.4［直積測度と Fubini–Tonelli の定理］）と微分積分学の基本定理（定理 5.4［積分の基本定理と定積分］）で積分すれば $0$ になるからです）

$$\mathcal{E}'(t)=2\operatorname{Re}(\partial_tu,u)=-2(Pu,u)\le2c_F\,\mathcal{E}(t)$$

です。よって $(e^{-2c_Ft}\mathcal{E}(t))'\le0$ で、$e^{-2c_Ft}\mathcal{E}$ は $[0,T)$ で単調非増加、$0\le\mathcal{E}(t)\le e^{2c_Ft}\mathcal{E}(0)=0$ です。$u(t)$ は連続なので $u=0$ です。

∎

定義 4.5（Laplace 型作用素の熱核）↗

$(0,\infty)\times M\times M$ 上の $\operatorname{Hom}(E_y,E_x)$ に値をとる滑らかな切断 $K_t(x,y)$ で、$(\partial_t+P_x)K_t(x,y)=0$ をみたし、$E$ の各連続な切断 $f$ について $t\to0$ で $\int_MK_t(x,y)f(y)\,d\mu(y)\to f(x)$（$x$ について一様）となるものを、$P$ の熱核という。

$P=\Delta$（関数）のとき、これは Hodge 理論 の 定義 7.1［Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素］ と同じ条件です。

定理 4.6（熱核の存在・一意性・近似）✓

$P=\nabla^*\nabla+F$ を Laplace 型作用素とする。

1. $P$ の熱核 $K$ はただ一つ存在する。
2. 各整数 $N\ge0$ と $T\gt0$ について定数 $C$ があり、$0\lt t\le T$、$x,y\in M$ で

$$\bigl|K_t(x,y)-k^N_t(x,y)\bigr|\le C\,t^{N+1-n/2}.$$

証明（定理 4.6）

近似核の補正。 $T\gt0$、$\ell\ge0$ を固定し、整数 $N\ge n/2+\ell+2$ を取り、$a=N-n/2-\ell-2\ge0$ とします。補題 3.4 から $r=r^N$ は $\|r_t\|_{C^{\ell+2}}\le Ct^a$ をみたすので、補題 4.2（$\ell+2$ 階）の $Q$ がとれます。

$$K^{N}_t(x,y)=k^N_t(x,y)-(k^N*Q)_t(x,y),\qquad(k^N*Q)_t(x,y)=\int_0^t\bigl(k^N_{t-s}Q_s(\cdot,y)\bigr)(x)\,ds$$

とおきます。$y$ を含む座標近傍で $E$ を自明化して $E_y^*$ を固定した空間 $V$ とみなし、補題 4.3 を $G_s=Q_s(\cdot,y)$ に使うと

$$(\partial_t+P_x)K^N=r-\bigl(Q+r*Q\bigr)=0$$

です（最後は 補題 4.2 の $Q=r-r*Q$）。$|(k^N*Q)_t|\le C_0C_2t^{a+1}$ と 補題 4.1 の 2 から、連続な $f$ について $\int K^N_t(x,y)f(y)d\mu(y)\to f(x)$（一様）で、

$$|K^N_t(x,y)-k^N_t(x,y)|\le C\,t^{N-n/2-\ell-1}$$

です。さらに $(x,y)$ についての $\ell+2$ 階までの導関数 $\partial_x^\alpha\partial_y^\beta(k^N*Q)$ は、$\partial_y^\beta$ を $Q$ に、$\partial_x^\alpha$ を $k^N_{t-s}$ の作用にかけて（補題 4.1 の 3）積分記号下で取れ、$(t,x,y)$ について連続です。

一意性。 $K,K'$ が $(0,T]$ 上で熱方程式と初期条件をみたし、$t$ について 1 回、$x$ について 2 回連続的微分可能な核なら、滑らかな $f$ について $u(t,x)=\int(K_t-K'_t)(x,y)f(y)\,d\mu(y)$（$u(0)=0$）は 補題 4.4 の仮定をみたすので $u=0$ です。$f$ は任意で核は連続なので（$f$ を 1 点のまわりに集中させる）、$K=K'$ です。とくに上の $K^N$ は $N\ge n/2+2$ と $T$ によらず、$(0,\infty)$ 上の一つの核 $K$ を定めます。

滑らかさ。 任意の $\ell$ について $N\ge n/2+\ell+2$ を取れば、$K$ の $(x,y)$ についての $\ell+2$ 階までの導関数は $(t,x,y)$ について連続です。$\partial_tK=-P_xK$ から $K_t=K_{t_0}-\int_{t_0}^tP_xK_s\,ds$ で、両辺に $\partial^\alpha_{x,y}$ を積分記号下でかけると $\partial_t\partial^\alpha K=-\partial^\alpha P_xK$ が連続です。これを繰り返して $\partial_t^j\partial^\alpha K=(-1)^j\partial^\alpha P_x^jK$ がすべて連続なので、$K$ は滑らかです。以上で 1 の存在が示され、一意性は上の議論そのものです。

2 の評価。 与えられた $N$ に対し、整数 $N'\ge\max(N+2,\,n/2+2)$ を取ります。上の評価（$\ell=0$）から $|K_t-k^{N'}_t|\le Ct^{N'-n/2-1}\le CT^{N'-N-2}t^{N+1-n/2}$ で、$|k^{N'}_t-k^N_t|=\bigl|\chi q_t\sum_{N\lt k\le N'}t^k\Phi_k\bigr|\le Ct^{N+1-n/2}$ です。

∎

構成の途中で、熱核が $t\to0$ で対角線の近くに集中することが定量的に出ています。実際、定理 4.6 の 2 と $k^N$ の形から、$d(x,y)\ge\delta$ なら $|K_t(x,y)|=O(t^\infty)$（$t$ の任意のべきより速く $0$）です。

5. 熱作用素とスペクトル分解

熱核を核とする積分作用素

$$(\mathcal{T}_tf)(x)=\int_MK_t(x,y)f(y)\,d\mu(y)\qquad(t\gt0),\qquad\mathcal{T}_0=I$$

を熱作用素と呼びます。$L^2(E)$ は可分な Hilbert 空間です。核 $A\in\operatorname{Hom}(E_y,E_x)$ の大きさ $|A|$ は Hilbert–Schmidt ノルム $|A|^2=\operatorname{tr}(AA^*)$ で測ります。

命題 5.1（熱作用素の基本性質）✓

1. $T\gt0$ について定数 $C$ があり、$0\lt t\le T$ で $\int_M|K_t(x,y)|d\mu(y)\le C$、$\int_M|K_t(x,y)|d\mu(x)\le C$、$\|\mathcal{T}_t\|\le C$。
2. 各 $f\in L^2(E)$ について $t\mapsto\mathcal{T}_tf$ は $[0,\infty)$ から $L^2(E)$ への連続写像である。
3. （半群性）$K_{t+s}(x,y)=\int_MK_t(x,z)K_s(z,y)\,d\mu(z)$、すなわち $\mathcal{T}_{t+s}=\mathcal{T}_t\mathcal{T}_s$。
4. （対称性）$K_t(x,y)^*=K_t(y,x)$、すなわち $\mathcal{T}_t$ は自己共役である。
5. 各 $x$ について $\int_M|K_t(x,y)|^2d\mu(y)=\operatorname{tr}K_{2t}(x,x)$。$\mathcal{T}_t$ は Hilbert–Schmidt 作用素で、$L^2(E)$ の正規直交基底 $(e_m)$ について $\sum_m\|\mathcal{T}_te_m\|^2=\int_M\int_M|K_t(x,y)|^2d\mu(y)\,d\mu(x)$。

証明（命題 5.1）

1。 整数 $N\ge n/2$ を取ると、定理 4.6 の 2 から $|K_t-k^N_t|\le CT^{N+1-n/2}$ は有界で、補題 4.1 の 1 と合わせて積分の評価を得ます。作用素ノルムは、Cauchy–Schwarz の不等式（命題 2.2［Hilbert 空間の基礎］）で $|\mathcal{T}_tf(x)|^2\le\int|K_t(x,y)|d\mu(y)\cdot\int|K_t(x,y)||f(y)|^2d\mu(y)$ とし、$x$ で積分して Fubini の定理（定理 3.4［直積測度と Fubini–Tonelli の定理］）を使えば $\|\mathcal{T}_tf\|\le C\|f\|$ です。

2。 $t\gt0$ では、$K$ は $[t/2,2t]\times M\times M$ 上で一様連続なので、$t'\to t$ で $\sup|K_{t'}-K_t|\to0$、よって $\|\mathcal{T}_{t'}-\mathcal{T}_t\|\le\mu(M)\sup|K_{t'}-K_t|\to0$ です。$t=0$ では、連続な $g$ について熱核の定義から $\mathcal{T}_tg\to g$（一様、したがって $L^2$）で、一般の $f$ には $\Gamma(E)$ の稠密性（補題 8.5［Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素］ の 2）と 1 の一様な評価から $\|\mathcal{T}_tf-f\|\le(C+1)\|f-g\|+\|\mathcal{T}_tg-g\|$ として従います。

3。 $s\gt0$、$f\in\Gamma(E)$ を固定します。$\mathcal{T}_sf$ は滑らかです（$K_s$ が滑らかなので積分記号下で微分できる）。$u(t)=\mathcal{T}_{t+s}f-\mathcal{T}_t(\mathcal{T}_sf)$（$u(0)=0$）は、$t\gt0$ で熱方程式をみたし（積分記号下で $\partial_t+P_x$ をかける）、$t\to0$ で一様に $\mathcal{T}_sf-\mathcal{T}_sf=0$ に近づくので、補題 4.4 により $0$ です。Fubini の定理で書き直すと $\int\bigl(K_{t+s}(x,y)-\int K_t(x,z)K_s(z,y)d\mu(z)\bigr)f(y)d\mu(y)=0$ がすべての滑らかな $f$ について成り立ち、核は連続なので $0$ です。

4。 $f,g\in\Gamma(E)$、$t\gt0$ とし、$\phi(s)=(\mathcal{T}_sf,\mathcal{T}_{t-s}g)$（$0\le s\le t$）とおきます。2 から $\phi$ は連続で、$0\lt s\lt t$ では積分記号下で微分して、補題 2.2 の 3 から

$$\phi'(s)=(-P\mathcal{T}_sf,\mathcal{T}_{t-s}g)+(\mathcal{T}_sf,P\mathcal{T}_{t-s}g)=0$$

です。よって $(\mathcal{T}_tf,g)=\phi(t)=\phi(0)=(f,\mathcal{T}_tg)$ です。これを核で書くと $\iint\langle K_t(x,y)f(y),g(x)\rangle=\iint\langle f(y),K_t(y,x)g(x)\rangle$ がすべての $f,g$ について成り立つので $K_t(x,y)^*=K_t(y,x)$、また $\Gamma(E)$ の稠密性と 1 から $\mathcal{T}_t$ は自己共役です。

5。 4 と 3 から $\int|K_t(x,y)|^2d\mu(y)=\operatorname{tr}\int K_t(x,y)K_t(y,x)\,d\mu(y)=\operatorname{tr}K_{2t}(x,x)$ です。次に $x$ を固定し、$E_x$ の正規直交基底 $(f_a)$ をとって $\kappa_a(y)=K_t(y,x)f_a=K_t(x,y)^*f_a$ とおくと、$\langle(\mathcal{T}_te_m)(x),f_a\rangle=\int\langle e_m(y),\kappa_a(y)\rangle d\mu(y)=(e_m,\kappa_a)$ です。Parseval の等式（定理 6.4［Hilbert 空間の基礎］）から $\sum_m|(e_m,\kappa_a)|^2=\|\kappa_a\|^2$ で、$a$ について和を取ると

$$\sum_m|(\mathcal{T}_te_m)(x)|^2=\sum_a\|\kappa_a\|^2=\int_M|K_t(x,y)|^2d\mu(y)$$

です。$x$ で積分し、単調収束定理（定理 5.2［ルベーグ積分の定義と収束定理］）で和と積分を交換すれば主張で、右辺は有限なので $\mathcal{T}_t$ は Hilbert–Schmidt 作用素です（定義 6.2［コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス］）。

∎

定理 5.2（熱核によるスペクトル分解）✓

$P$ を Laplace 型作用素、$K$ をその熱核とし、$M$ の次元は $1$ 以上とする。

1. 滑らかな切断からなる $L^2(E)$ の正規直交基底 $(\varphi_j)_{j\ge0}$ と実数 $\lambda_0\le\lambda_1\le\cdots$ があって、$P\varphi_j=\lambda_j\varphi_j$、$\mathcal{T}_t\varphi_j=e^{-t\lambda_j}\varphi_j$（$t\gt0$）である。$\lambda_j\ge-c_F$、各値は有限回しか現れず、$\lambda_j\to\infty$。さらに $\psi\in\Gamma(E)$ が $P\psi=\lambda\psi$ をみたせば、$\psi$ は $\lambda_j=\lambda$ となる $\varphi_j$ の 1 次結合である。
2. $t\gt0$、$x\in M$ について $\sum_je^{-t\lambda_j}|\varphi_j(x)|^2=\operatorname{tr}K_t(x,x)$。とくに $\sum_je^{-t\lambda_j}=\int_M\operatorname{tr}K_t(x,x)\,d\mu(x)\lt\infty$。
3. $(\varphi(x)\otimes\varphi(y)^*)e=\langle e,\varphi(y)\rangle\varphi(x)$ と書くと、$0\lt t_0\lt T$ について

$$K_t(x,y)=\sum_je^{-t\lambda_j}\,\varphi_j(x)\otimes\varphi_j(y)^*$$

は $[t_0,T]\times M\times M$ 上で絶対一様収束する。 4. $\mathcal{T}_t$ はトレースクラスで、$E$ の連続な自己準同型の場 $\Phi$ について $\Phi\mathcal{T}_t$ もトレースクラスであり、

$$\operatorname{Tr}(\Phi\mathcal{T}_t)=\int_M\operatorname{tr}\bigl(\Phi(x)K_t(x,x)\bigr)\,d\mu(x).$$

証明（定理 5.2）

1。 命題 5.1 の 4、5 と 命題 6.3［コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス］ の 3 から、$\mathcal{T}_1$ はコンパクトな自己共役作用素です。$\mathcal{T}_1f=0$ なら $\|\mathcal{T}_{1/2}f\|^2=(\mathcal{T}_1f,f)=0$（命題 5.1 の 3、4）で、繰り返して $\mathcal{T}_{2^{-m}}f=0$、命題 5.1 の 2 で $m\to\infty$ として $f=0$ です。よって Hilbert–Schmidt の定理（定理 4.2［コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス］）の 3、4 から、$L^2(E)$ は $\mathcal{T}_1$ の $0$ でない固有値 $\nu$ の固有空間 $V_\nu$（有限次元）の直交直和で、$\nu$ は $0$ にしか集積しません。$\varphi\in V_\nu$、$\|\varphi\|=1$ なら $\nu=(\mathcal{T}_1\varphi,\varphi)=\|\mathcal{T}_{1/2}\varphi\|^2\gt0$ です。

$\nu$ を固定します。$\mathcal{T}_t$ は $\mathcal{T}_1$ と可換（命題 5.1 の 3）なので $V_\nu$ を保ち、$S_t=\mathcal{T}_t|_{V_\nu}$ は自己共役で $S_t=S_{t/2}^2$、$S_{t+s}=S_tS_s$、$S_1=\nu$ をみたします。$S_{1/2}$ は有限次元の自己共役作用素なので対角化でき（定理 4.2［スペクトル定理］）、$S_{1/2}=S_{1/4}^2$ から固有値は $0$ 以上、2 乗すると $\nu$ なので $S_{1/2}=\nu^{1/2}$ です。繰り返して $S_{2^{-m}}=\nu^{2^{-m}}$、したがって $S_{p2^{-m}}=\nu^{p2^{-m}}$（$p\in\mathbb{N}$）で、$t\mapsto S_t$ の連続性（命題 5.1 の 2）から、すべての $t\gt0$ で $S_t=\nu^t=e^{-t\lambda}$（$\lambda=-\log\nu$）です。

$\varphi\in V_\nu$ は $\varphi=\nu^{-1}\mathcal{T}_1\varphi$ なので滑らかです（$K_1$ が滑らかで、積分記号下で微分できる）。$\mathcal{T}_t\varphi=e^{-t\lambda}\varphi$ を $t$ で微分すると、左辺は積分記号下で $\int\partial_tK_t(x,y)\varphi(y)d\mu=-P\mathcal{T}_t\varphi=-e^{-t\lambda}P\varphi$、右辺は $-\lambda e^{-t\lambda}\varphi$ なので $P\varphi=\lambda\varphi$ です。各 $V_\nu$ の正規直交基底を $\lambda$ の小さい順（$\nu$ の大きい順）に並べたものが $(\varphi_j)$ です。$\dim L^2(E)=\infty$ なので $\nu_j\to0$、すなわち $\lambda_j\to\infty$ です。補題 2.2 の 3 から $\lambda_j=(P\varphi_j,\varphi_j)\ge-c_F$ です。

最後に $P\psi=\lambda\psi$ なら、補題 2.2 の 3 と $\lambda_j\in\mathbb{R}$ から $(\lambda-\lambda_j)(\psi,\varphi_j)=(P\psi,\varphi_j)-(\psi,P\varphi_j)=0$ なので、$\lambda_j\ne\lambda$ なら $(\psi,\varphi_j)=0$ です。定理 6.4［Hilbert 空間の基礎］ の 4 から $\psi=\sum_{\lambda_j=\lambda}(\psi,\varphi_j)\varphi_j$（有限和）です。

2。 $x$ を固定し、$E_x$ の正規直交基底 $(f_a)$ について $\kappa_a(y)=K_{t/2}(x,y)^*f_a$ とおきます。$(\kappa_a,\varphi_j)=\int\langle f_a,K_{t/2}(x,y)\varphi_j(y)\rangle d\mu(y)=\langle f_a,(\mathcal{T}_{t/2}\varphi_j)(x)\rangle=e^{-t\lambda_j/2}\langle f_a,\varphi_j(x)\rangle$ なので、Parseval の等式から $\|\kappa_a\|^2=\sum_je^{-t\lambda_j}|\langle f_a,\varphi_j(x)\rangle|^2$ です。$a$ について和を取ると、左辺は $\int|K_{t/2}(x,y)|^2d\mu(y)=\operatorname{tr}K_t(x,x)$（命題 5.1 の 5）、右辺は $\sum_je^{-t\lambda_j}|\varphi_j(x)|^2$ です。$x$ で積分し単調収束定理を使えば後半です。

3。 2 を時刻 $t_0/2$ で使うと $|\varphi_j(x)|^2\le c\,e^{t_0\lambda_j/2}$（$c=\sup_x\operatorname{tr}K_{t_0/2}(x,x)$）です。$t\in[t_0,T]$ では $e^{-(t-t_0)\lambda_j}\le e^{Tc_F}$ なので

$$e^{-t\lambda_j}|\varphi_j(x)||\varphi_j(y)|\le c\,e^{-t\lambda_j+t_0\lambda_j/2}\le c\,e^{Tc_F}e^{-t_0\lambda_j/2}$$

で、右辺の和は 2 により有限です。Weierstrass の M 判定法から級数は絶対一様収束し、極限 $S_t(x,y)$ は連続です。項別積分で $\int S_t(x,y)\varphi_k(y)d\mu(y)=e^{-t\lambda_k}\varphi_k(x)=(\mathcal{T}_t\varphi_k)(x)$ なので、$S_t$ を核とする有界作用素は正規直交基底の上で $\mathcal{T}_t$ と一致し、$\mathcal{T}_t$ に等しく、連続な核どうしとして $S_t=K_t$ です。

4。 $\mathcal{T}_t$ は $\varphi_j$ で対角化され、固有値 $e^{-t\lambda_j}\gt0$ がそのまま特異値なので、2 から $\mathcal{T}_t\in\mathcal{S}_1$ です（定義 7.3［コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス］）。$\Phi$ は有界な掛け算作用素なので $\Phi\mathcal{T}_t\in\mathcal{S}_1$（定理 7.4［コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス］）で、トレースは正規直交基底 $(\varphi_j)$ で計算できます（定理 7.7［コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス］ の 1）。

$$\operatorname{Tr}(\Phi\mathcal{T}_t)=\sum_je^{-t\lambda_j}(\Phi\varphi_j,\varphi_j)=\int_M\sum_je^{-t\lambda_j}\langle\Phi(x)\varphi_j(x),\varphi_j(x)\rangle\,d\mu(x)$$

で、和と積分の交換は $\sum_je^{-t\lambda_j}|\langle\Phi\varphi_j,\varphi_j\rangle|\le\sup|\Phi|\sum_je^{-t\lambda_j}|\varphi_j(x)|^2$ が可積分（2）なことから正当化されます。$\langle\Phi(x)\varphi_j(x),\varphi_j(x)\rangle=\operatorname{tr}\bigl(\Phi(x)\,\varphi_j(x)\otimes\varphi_j(x)^*\bigr)$ と 3 から、被積分関数は $\operatorname{tr}(\Phi(x)K_t(x,x))$ です。

∎

定理 5.2 の 1 で $P\varphi_j=\lambda_j\varphi_j$ の解が滑らかであることは、楕円型正則性の定理を使わずに、$\varphi=\nu^{-1}\mathcal{T}_1\varphi$ という「熱で均すと滑らかになる」性質から出ています。一方、ここで扱っているのは $\mathcal{T}_t$ の固有切断で、$P$ の $L^2$ 上の自己共役拡張の問題は 7 節で Dirac 型作用素について扱います。

6. 漸近展開と局所係数

6.1. 対角成分の展開

定理 6.1（熱核の小時間漸近展開）✓

$a_k(x)=\Phi_k(x,x)\in\operatorname{End}(E_x)$（命題 3.2）とおく。各 $N\ge0$ について、$x$ について一様に、$0\lt t\le1$ で

$$K_t(x,x)=(4\pi t)^{-n/2}\Bigl(\sum_{k=0}^Nt^ka_k(x)+O(t^{N+1})\Bigr).$$

係数 $a_k$ はこの性質で一意に決まる。とくに、$E$ の連続な自己準同型の場 $\Phi$ について

$$\operatorname{Tr}(\Phi\mathcal{T}_t)=(4\pi t)^{-n/2}\Bigl(\sum_{k=0}^Nt^k\int_M\operatorname{tr}\bigl(\Phi\,a_k\bigr)d\mu+O(t^{N+1})\Bigr),\qquad\sum_je^{-t\lambda_j}=(4\pi t)^{-n/2}\Bigl(\sum_{k=0}^Nt^k\int_M\operatorname{tr}a_k\,d\mu+O(t^{N+1})\Bigr).$$

証明（定理 6.1）

対角では $\chi(x,x)=1$、$q_t(x,x)=(4\pi t)^{-n/2}$ なので $k^N_t(x,x)=(4\pi t)^{-n/2}\sum_{k\le N}t^ka_k(x)$ で、定理 4.6 の 2（$T=1$）が前半です。一意性は、$\sum_{k\le N}t^k(a_k-a'_k)=O(t^{N+1})$ から $t\to0$ として $a_0=a'_0$、$t$ で割って $a_1=a'_1$、と順に従います。トレースの式は 定理 5.2 の 4、2 の式を一様な評価のもとで積分したものです。

∎

6.2. 正規座標での計量の展開

係数を計算するには、正規座標で計量と体積密度を展開する必要があります。$R$ の $p$ 回の共変微分を $\nabla^pR$（$(0,p+4)$ テンソル）と書きます。

補題 6.2（正規座標での計量の展開）✓

$y\in M$ を中心とし正規直交基底 $e_1,\dots,e_n$ に関する正規座標をとり、$x=\sum_ix^ie_i\in T_yM$ と同一視する。

1. $g_{ij}(x)=\delta_{ij}-\dfrac13R(e_i,x,x,e_j)+O(|x|^3)$。とくに $\partial_kg_{ij}(0)=0$、$\Gamma^k_{ij}(0)=0$。
2. $j(x,y)=1-\dfrac16\operatorname{Ric}(x,x)+O(|x|^3)$。
3. 各多重指数 $\gamma$ について、$\partial^\gamma g_{ij}(0)$ は $\nabla^pR$（$0\le p\le|\gamma|-2$）の $y$ での $e_1,\dots,e_n$ に関する成分の多項式で、その多項式は $n,i,j,\gamma$ だけで決まる（多様体によらない）。

証明（補題 6.2）

$v\in T_yM$ を固定し、$\gamma(s)=\exp_y(sv)$、$E_a(s)$ を $e_a$ の $\gamma$ に沿った平行移動とします（定理 6.2［Riemann 計量と Levi-Civita 接続］。定理 6.3［Riemann 計量と Levi-Civita 接続］ により正規直交）。$J_i$ を $J_i(0)=0$、$D_sJ_i(0)=e_i$ の Jacobi 場（命題 3.3［測地線と完備性］ の 2）とすると、命題 3.4［測地線と完備性］ により $J_i(s)=d(\exp_y)_{sv}(se_i)=s\,\partial_i|_{\gamma(s)}$ です。よって $s\gt0$ で

$$g_{ij}(sv)=s^{-2}\langle J_i(s),J_j(s)\rangle=s^{-2}\sum_aJ_{ia}(s)J_{ja}(s),\qquad J_{ia}=\langle J_i,E_a\rangle .$$

Jacobi 方程式（定義 3.2［測地線と完備性］）を成分で書くと $J_{ia}''=-\sum_b\mathcal{K}_{ab}J_{ib}$、$\mathcal{K}_{ab}(s)=R(E_b,\dot\gamma,\dot\gamma,E_a)$ です。$E_a$ と $\dot\gamma$ は平行なので、共変微分の Leibniz 則から $\mathcal{K}_{ab}^{(p)}(0)=(\nabla^pR)(v,\dots,v;e_b,v,v,e_a)$ です。$J_{ia}(0)=0$、$J_{ia}'(0)=\delta_{ia}$ と、微分した方程式 $J^{(m+2)}=-\sum_{p\le m}\binom mp\mathcal{K}^{(p)}J^{(m-p)}$（$s=0$ では $J(0)=0$ により $p=m$ の項が消える）から、$m$ についての帰納法で、$J_{ia}^{(m)}(0)$ は $\nabla^pR(y)$（$p\le m-3$）の成分と $v$ の成分の多項式で、$v$ について $m-1$ 次の斉次式です。

1。 $J_{ia}''(0)=0$、$J_{ia}'''(0)=-\mathcal{K}_{ai}(0)=-R(e_i,v,v,e_a)$ なので $J_{ia}(s)=s\delta_{ia}-\tfrac{s^3}6R(e_i,v,v,e_a)+O(s^4)$ です。命題 3.1［曲率テンソル］ の 1、2、4 から $R(e_j,v,v,e_i)=R(e_i,v,v,e_j)$ なので

$$g_{ij}(sv)=\delta_{ij}-\frac{s^2}3R(e_i,v,v,e_j)+O(s^3)$$

で、$g_{ij}$ の Taylor 展開の 1 次の項は $0$、2 次の項は $-\frac13R(e_i,x,x,e_j)$ です。$\Gamma^k_{ij}(0)=0$ は Levi-Civita 接続の Christoffel 記号の公式（定理 5.2［Riemann 計量と Levi-Civita 接続］）から従います。

2。 $H=(g_{ij}-\delta_{ij})=O(|x|^2)$ について $\det(I+H)=1+\operatorname{tr}H+O(|H|^2)$、$\operatorname{tr}H=-\frac13\sum_iR(e_i,x,x,e_i)=-\frac13\operatorname{Ric}(x,x)$（定義 4.1［曲率テンソル］）なので、平方根を取って主張です。

3。 $J_{ia}$ は滑らかで $J_{ia}(0)=0$ なので、$s^{-1}J_{ia}(s)$ は滑らかに延び、その $s^{p}$ の Taylor 係数は $J^{(p+1)}_{ia}(0)/(p+1)!$ です。よって $g_{ij}(sv)=\sum_a(s^{-1}J_{ia})(s^{-1}J_{ja})$ の $s^m$ の Taylor 係数は $\sum_a\sum_{p+q=m}J^{(p+1)}_{ia}(0)J^{(q+1)}_{ja}(0)/\bigl((p+1)!(q+1)!\bigr)$ で、これは $v$ について $m$ 次の斉次多項式、係数は $\nabla^pR(y)$（$p\le m-2$）の成分の普遍的な多項式です。一方 $g_{ij}(sv)$ の $s^m$ の係数は $\frac1{m!}\sum_{|\gamma|=m}\frac{m!}{\gamma!}\partial^\gamma g_{ij}(0)v^\gamma$ なので、$v$ の多項式として係数を比べれば主張です。

∎

6.3. 最初の二つの係数

$a_1$ の計算は、$(P_x\Phi_0)(y,y)$ を 3 つの項に分けて評価することです。$j^{-1/2}$ の Laplacian がスカラー曲率の $-s/6$ を与え、勾配の項は $0$ になり、平行移動 $\tau$ の項は、動径測地線に沿って平行な枠（同期枠）を使うと原点で消えます。残るのは $F$ だけです。

命題 6.3（係数 a₀ と a₁）✓

$a_0(y)=\mathrm{id}$、$a_k(y)=-\dfrac1k\bigl(P_x\Phi_{k-1}\bigr)(y,y)$（$k\ge1$）であり、

$$a_1(y)=\frac{s(y)}6-F(y)$$

である（$s$ はスカラー曲率）。

証明（命題 6.3）

前半は 命題 3.2 の対角での値です。$a_1(y)=-(P_x\Phi_0)(y,y)$ を計算します。$y$ を中心とする正規座標をとり、$E_y$ の正規直交基底 $(e_a)$ を $\tau$ で運んだ枠 $e_a(x)=\tau(x,y)e_a$ を使います（$y$ の同期枠）。$\Phi_0=j^{-1/2}\tau$ なので、補題 2.2 の 2 から

$$(P_x\Phi_0)(y,y)=\Delta(j^{-1/2})(y)\,\mathrm{id}-2\nabla_{\operatorname{grad}j^{-1/2}}\tau\,(y)+\bigl(\nabla^*\nabla\tau\bigr)(y)+F(y)$$

です（$j(y,y)=1$）。

第 1 項。 補題 6.2 の 2 から $j^{-1/2}=1+\frac1{12}\operatorname{Ric}(x,x)+O(|x|^3)$ です。補題 6.2 の 1 から $g_{ij}(0)=\delta_{ij}$、$\partial g(0)=0$ なので、命題 3.3［Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素］ の座標表示は原点で $\Delta f(0)=-\sum_i\partial_i^2f(0)$ になり、

$$\Delta(j^{-1/2})(y)=-\frac1{12}\sum_i2\operatorname{Ric}(e_i,e_i)=-\frac s6 .$$

第 2 項。 $j^{-1/2}$ の Taylor 展開に 1 次の項がないので $\operatorname{grad}j^{-1/2}(y)=0$ です。

第 3 項。 同期枠の接続行列を $\nabla_{\partial_i}e_b=\sum_a(A_i)_{ab}e_a$ とします。$e_b$ は動径測地線に沿って平行なので $\nabla_{\mathcal{X}}e_b=0$、すなわち $\sum_ix^iA_i(x)=0$ です。これを $x^k$ で微分すると $A_k+\sum_ix^i\partial_kA_i=0$ で、原点で $A_k(0)=0$。もう一度 $x^l$ で微分して原点で評価すると $\partial_lA_k(0)+\partial_kA_l(0)=0$、とくに $\sum_k\partial_kA_k(0)=0$ です。補題 2.2 の 1 の座標表示で $g^{ij}(0)=\delta^{ij}$、$\Gamma(0)=0$ なので

$$(\nabla^*\nabla e_b)(0)=-\sum_i\bigl(\nabla_{\partial_i}\nabla_{\partial_i}e_b\bigr)(0)=-\sum_{i,a}\bigl(\partial_iA_i+A_iA_i\bigr)_{ab}(0)\,e_a=0$$

です。$\tau(\cdot,y)$ は $e_b\mapsto e_b(x)$ なので $(\nabla^*\nabla\tau)(y)=0$ です。

以上から $(P_x\Phi_0)(y,y)=-\frac s6+F(y)$、$a_1(y)=\frac s6-F(y)$ です。

∎

6.4. 係数の局所性

命題 6.4（係数の局所性と普遍性）✓

1. $a_k(y)$ は、$y$ を中心とする正規座標での $g_{ij}$ の Taylor 係数と、同期枠での接続行列 $A_i$ と $F$ の成分の Taylor 係数のうち有限個の多項式で、その多項式は $n$、$k$、$E$ の階数だけで決まる。とくに $a_k(y)$ は $y$ の任意の近傍での $g,\nabla,F$ だけで決まる。
2. $P=\Delta$（関数の Laplacian）のとき、$a_k(y)$ は $\nabla^pR$ の $y$ での正規直交基底に関する成分の多項式で、その多項式は $n,k$ だけで決まる。たとえば $a_0=1$、$a_1=s/6$。

証明（命題 6.4）

1。 同期枠で $\tau(x,y)$ は単位行列、$\Phi_k$ は行列値関数です。補題 2.2 の 1 から、座標では

$$Pu=-\sum_{i,j}g^{ij}\Bigl((\partial_i+A_i)(\partial_j+A_j)u-\sum_k\Gamma^k_{ij}(\partial_k+A_k)u\Bigr)+Fu$$

で、命題 3.2 の漸化式は $\Phi_0=j^{-1/2}$、$\Phi_k(x)=-j(x)^{-1/2}\int_0^1\rho^{k-1}(j^{1/2}P\Phi_{k-1})(\rho x)\,d\rho$ です。$g(0)=I$ なので、$g^{ij}=(I+H)^{-1}=\sum_m(-H)^m$、$\det g$、$j^{\pm1/2}=(\det g)^{\pm1/4}$、$\Gamma^k_{ij}$ の各次数の Taylor 係数は、$g_{ij}$ の Taylor 係数の普遍的な多項式です（$H(0)=0$ なので各次数で有限個の項しか寄与しない）。関数 $f$ の Taylor 係数が $c_\gamma$ なら、$\int_0^1\rho^{k-1}f(\rho x)d\rho$ の Taylor 係数は $c_\gamma/(k+|\gamma|)$ です。したがって $k$ についての帰納法で、$\Phi_k$ の各 Taylor 係数は $g_{ij}$、$A_i$、$F$ の Taylor 係数の普遍的な多項式で、$a_k(y)=\Phi_k(0)$ も同様です。

2。 自明な直線束と $\nabla=d$ では $\tau=1$、$A_i=0$、$F=0$ です（命題 2.3 の 1）。1 から $a_k(y)$ は $g_{ij}$ の Taylor 係数の普遍的な多項式で、補題 6.2 の 3 から $\nabla^pR(y)$ の成分の普遍的な多項式です。$a_0,a_1$ は 命題 6.3 です。

∎

$a_k(y)$ は $P$ だけで決まる量なので（定理 6.1 の一意性）、2 の多項式の値は正規直交基底の取り方によりません。つまり $a_k$ は曲率から作られる不変量です。たとえば次の係数は

$$a_2=\frac1{360}\bigl(2|R|^2-2|\operatorname{Ric}|^2+5s^2+12\,\Delta' s\bigr)\qquad(\Delta's=\textstyle\sum_i\nabla^2_{e_i,e_i}s)$$

となることが知られています（Gilkey の本。符号の規約に注意）。本記事では使いません。

6.5. 例

例 6.5（平坦トーラス：補正項がすべて消える）

平坦トーラス $T^n=\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n$ と関数の Laplacian では、$\varepsilon\lt1/4$ なら $\exp_y(v)=y+v$ で、正規座標は Euclid 座標そのもの、$g_{ij}=\delta_{ij}$、$j=1$、$\tau=1$ です。$\Phi_0=1$、$P\Phi_0=\Delta1=0$ なので 命題 3.2 の漸化式から $\Phi_k=0$（$k\ge1$）、$k^N_t=\chi q_t$ は $N$ によりません。よって $K_t(x,x)=(4\pi t)^{-n/2}(1+O(t^\infty))$ で、Hodge 理論 の鏡像法による計算（例 7.3［Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素］）と一致します。べきの補正が一つもないことは、局所的な幾何（曲率）が $0$ であることの反映で、残る $O(e^{-1/4t})$ は大域的な（一周する測地線の）効果です。

例 6.6（定数の足し算）

$c$ を実定数とし $P'=P+c$ とすると、$K'_t=e^{-ct}K_t$ は $(\partial_t+P'_x)K'=e^{-ct}(-cK+\partial_tK+P_xK+cK)=0$ と初期条件をみたすので、定理 4.6 の一意性から $P'$ の熱核です。展開を比べると

$$a'_k=\sum_{i=0}^k\frac{(-c)^i}{i!}a_{k-i},\qquad a'_1=a_1-c$$

で、$F$ を $F+c$ に替えたときの 命題 6.3 の $a_1=\frac s6-F$ と合っています。

例 6.7（3 次元球面：展開が指数関数になる）

単位球面 $S^3$ の関数の Laplacian の固有値は $m^2-1$、重複度は $m^2$（$m=1,2,\dots$。次数 $m-1$ の調和多項式の制限）です。熱跡は

$$\sum_je^{-t\lambda_j}=e^t\sum_{m\ge1}m^2e^{-tm^2}$$

で、Jacobi のテータ変換 $\sum_{m\in\mathbb{Z}}e^{-tm^2}=\sqrt{\pi/t}\sum_{k\in\mathbb{Z}}e^{-\pi^2k^2/t}$ を $t$ で微分すると $\sum_{m\ge1}m^2e^{-tm^2}=\frac{\sqrt\pi}4t^{-3/2}\bigl(1+O(t^{-1}e^{-\pi^2/t})\bigr)$ です。$\operatorname{vol}(S^3)=2\pi^2$ から $(4\pi t)^{-3/2}\cdot2\pi^2=\frac{\sqrt\pi}4t^{-3/2}$ なので

$$\sum_je^{-t\lambda_j}=(4\pi t)^{-3/2}\operatorname{vol}(S^3)\,e^t\bigl(1+O(t^\infty)\bigr).$$

$S^3$ は等長変換で点を移し合えるので $a_k$ は定数（命題 6.4 の 2）で、$a_k=1/k!$ です。$a_1=1$ はスカラー曲率 $s=n(n-1)=6$ の $s/6$ と一致し、$a_2=1/2$ も上の $a_2$ の公式（$|R|^2=12$、$|\operatorname{Ric}|^2=12$、$s=6$）と一致します。数値でも確かめられます。

import numpy as np

m = np.arange(1, 4000, dtype=float)
for t in [0.5, 0.2, 0.1, 0.05]:
    Z = np.sum(m**2 * np.exp(-t * (m**2 - 1)))
    main = np.sqrt(np.pi) / 4 * t**-1.5 * np.exp(t)
    print(t, Z, Z / main - 1)

相対誤差は $t=0.5$ でも $10^{-7}$ 程度、$t\le0.2$ では丸め誤差の程度で、$t$ のべきの補正が $e^t$ の Taylor 展開に完全に吸収されていることがわかります。

注意 6.8

熱跡の主要項 $\sum_je^{-t\lambda_j}\sim(4\pi t)^{-n/2}\operatorname{vol}(M)$ に Karamata のタウバー型定理を使うと、固有値の個数について Weyl の法則 $\#\lbrace j:\lambda_j\le\lambda\rbrace\sim\dfrac{\operatorname{vol}(M)}{(4\pi)^{n/2}\Gamma(n/2+1)}\lambda^{n/2}$ が出ます。有界領域の Dirichlet 境界条件の場合の別証明は Dirichlet Laplacian と Weyl の法則 にあります。熱跡は固有値だけで決まるので、$\operatorname{vol}(M)$、$\int_Ms\,d\mu$ などの $\int\operatorname{tr}a_k$ はスペクトルから読み取れる量（スペクトル不変量）です。

7. 関数の Laplacian と Dirac 型作用素への適用

関数の Laplacian については、命題 2.3 の 1 により以上の結果がそのまま当てはまり、$a_1=s/6$ です。Dirac 型作用素では、熱作用素が「$D$ の自己共役拡張の関数計算としての $e^{-tD^2}$」と一致することまで確かめておきます。指数定理の熱核による証明は、この形で使います。

定理 7.1（Dirac 型作用素の熱作用素）✓

$S$ を Clifford 加群、$D$ をその Dirac 型作用素（定義域 $\Gamma(S)$）、$D^2=\nabla^*\nabla+\mathcal{R}$ を Weitzenböck 公式とし、$K$ を Laplace 型作用素 $D^2$ の熱核（命題 2.3 の 2、定理 4.6）、$\mathcal{T}_t$ をその熱作用素とする。$M$ の次元は $1$ 以上とする。

1. 滑らかな切断からなる $L^2(S)$ の正規直交基底 $(\psi_j)$ と実数 $\mu_j$ で $D\psi_j=\mu_j\psi_j$、$|\mu_j|\to\infty$ となるものがある。$D$ の閉包 $\bar D$ は自己共役で、$D$ の自己共役な拡大は $\bar D$ だけである。$\bar D$ はコンパクトなレゾルベントをもつ。
2. $t\gt0$ で $e^{-t\bar D^2}=\mathcal{T}_t$（左辺は関数計算）。とくに $e^{-t\bar D^2}$ はトレースクラスで、滑らかな核 $K_t(x,y)$ をもち、$S$ の連続な自己準同型の場 $\Phi$ について $\operatorname{Tr}(\Phi e^{-t\bar D^2})=\int_M\operatorname{tr}\bigl(\Phi(x)K_t(x,x)\bigr)d\mu(x)$。
3. $t\to0$ で、$x$ について一様に $K_t(x,x)=(4\pi t)^{-n/2}\Bigl(1+t\Bigl(\dfrac{s(x)}6-\mathcal{R}(x)\Bigr)+O(t^2)\Bigr)$。

証明（定理 7.1）

1。 定理 5.2 を $P=D^2$ に使い、固有値 $\lambda$ の固有空間 $V_\lambda=\operatorname{span}\lbrace\varphi_j:\lambda_j=\lambda\rbrace$（有限次元、滑らかな切断からなる）を考えます。$\psi\in V_\lambda$ なら $D\psi\in\Gamma(S)$ で $D^2(D\psi)=D(D^2\psi)=\lambda D\psi$ なので、定理 5.2 の 1 の後半から $D\psi\in V_\lambda$ です。補題 8.6［Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素］ から $D$ は $V_\lambda$ 上で対称なので、$V_\lambda$ は $D$ の固有ベクトルからなる正規直交基底をもち（定理 4.2［スペクトル定理］）、固有値 $\mu$ は $\mu^2=\lambda$ をみたします。$L^2(S)$ は $V_\lambda$ の直交直和なので、これらを集めて $(\psi_j)$ を得ます。$\lambda_j\to\infty$ なので $|\mu_j|\to\infty$ です。

$A$ を、定義域 $\lbrace u:\sum_j\mu_j^2|(u,\psi_j)|^2\lt\infty\rbrace$ 上の $Au=\sum_j\mu_j(u,\psi_j)\psi_j$ とします。(i) $A$ は対称で（係数で計算する）、$u\in D(A^*)$ なら $(A^*u,\psi_j)=(u,A\psi_j)=\mu_j(u,\psi_j)$ なので Parseval の等式から $u\in D(A)$、$A^*u=Au$ です。よって $A=A^*$。(ii) $\psi_j\in\Gamma(S)$ なので、同じ計算で $D^*\subset A$ です（定義 5.1［非有界作用素］）。(iii) $u\in D(A)$ の部分和 $u_J=\sum_{j\le J}(u,\psi_j)\psi_j\in\Gamma(S)$ は $u_J\to u$、$Du_J\to Au$ なので $A\subset\bar D$ です（定義 4.5［非有界作用素］）。(iv) $D$ は対称（定義 7.1［非有界作用素］）なので $D\subset D^*$ で、$D^*$ は閉（定理 5.4［非有界作用素］）だから $\bar D\subset D^*$。(ii)〜(iv) から $D^*\subset A\subset\bar D\subset D^*$、すなわち $\bar D=D^*=A$ で、(i) から自己共役です。$B$ が $D$ の自己共役な拡大なら、命題 5.6［非有界作用素］ の 1 から $B=B^*\subset D^*=\bar D$、また $B$ は閉なので $\bar D\subset B$、よって $B=\bar D$ です。最後に $(\bar D-i)^{-1}$ は $\psi_j$ に $(\mu_j-i)^{-1}\to0$ を掛ける作用素なので、命題 3.6［コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス］ からコンパクトです。

2。 ボレル集合 $B\subset\mathbb{R}$ について $E(B)u=\sum_{\mu_j\in B}(u,\psi_j)\psi_j$ とおきます。$E(B)$ は $\lbrace\psi_j:\mu_j\in B\rbrace$ の張る閉部分空間への直交射影で、$E(\emptyset)=0$、Parseval の等式（定理 6.4［Hilbert 空間の基礎］ の 4）から $E(\mathbb{R})=I$、互いに素な $B_1,B_2,\dots$ については $E(\bigcup_kB_k)u=\sum_kE(B_k)u$（正規直交展開の項を集合ごとにまとめ直したもの）なので、$E$ は射影値測度です（定義 3.1［スペクトル定理と関数計算］）。$\psi_j=E(\lbrace\mu_j\rbrace)\psi_j$ なので、有界なボレル関数 $h$ のスペクトル積分 $I(h)=\int h\,dE$ について 命題 4.1［スペクトル定理と関数計算］ の 1 から $I(h)\psi_j=I(h\mathbf{1}_{\lbrace\mu_j\rbrace})\psi_j=h(\mu_j)\psi_j$、したがって $I(h)u=\sum_jh(\mu_j)(u,\psi_j)\psi_j$ です。とくに $\|E(B)u\|^2=\sum_{\mu_j\in B}|(u,\psi_j)|^2$ なので、定義 4.2［スペクトル定理と関数計算］ の $f(\lambda)=\lambda$ の積分の定義域は $\lbrace u:\sum_j\mu_j^2|(u,\psi_j)|^2\lt\infty\rbrace=D(A)$ で、$f_n=f\mathbf{1}_{\lbrace|\lambda|\le n\rbrace}$ について $I(f_n)u=\sum_{|\mu_j|\le n}\mu_j(u,\psi_j)\psi_j\to Au$ です。よって $\int\lambda\,dE(\lambda)=A$（定義域も含めて）で、スペクトル測度の一意性（定理 5.5［スペクトル定理と関数計算］）からこれが $\bar D=A$ のスペクトル測度です。関数計算の定義（定義 6.1［スペクトル定理と関数計算］）と上の式を $h(\lambda)=e^{-t\lambda^2}$ に使うと $e^{-t\bar D^2}\psi_j=e^{-t\mu_j^2}\psi_j$ です。一方 $\psi_j\in V_{\mu_j^2}$ なので、定理 5.2 の 1 から $\mathcal{T}_t\psi_j=e^{-t\mu_j^2}\psi_j$ です。二つの有界作用素は正規直交基底の上で一致するので等しく、残りは 定理 5.2 の 4 と 定理 4.6 です。

3。 定理 6.1（$N=1$）と 命題 6.3（$F=\mathcal{R}$）です。

∎

2 次元の twisted Dirac 作用素の指数定理（指数定理）では、超跡 $\operatorname{tr}(\gamma K_t(x,x))$ を取ると主要項 $(4\pi t)^{-1}\operatorname{tr}\gamma$ とスカラー曲率の項が消え、$-\operatorname{tr}(\gamma\mathcal{R})$ から直線束の曲率だけが残ります。高い次元では $t^{-n/2}$ から $t^0$ までのすべての項の打ち消し合いを示す必要があり、そのためには係数 $a_k$ の Clifford 次数を追跡する Getzler の再スケーリングを使います。

8. 演習

演習 8.1易

円周 $M=\mathbb{R}/L\mathbb{Z}$ に任意の Riemann 計量を入れ、関数の Laplacian を考える。弧長をパラメータに取ると正規座標がどうなるかを述べ、命題 3.2 の $\Phi_k$ が $k\ge1$ ですべて $0$ になることを示せ。これから熱跡が $\sum_je^{-t\lambda_j}=\ell/\sqrt{4\pi t}+O(t^\infty)$（$\ell$ は全長）となることを導け。

解答

弧長 $\sigma$ で $g=d\sigma^2$ と書けるので、$y$ を中心とする正規座標は $y$ から測った符号つきの弧長そのもので、$g_{11}=1$、$j=1$ です。自明な直線束で $\tau=1$ なので $\Phi_0=1$、$P\Phi_0=\Delta1=0$、漸化式から $\Phi_k=0$（$k\ge1$）です。よって $a_0=1$、$a_k=0$（$k\ge1$）で、定理 6.1 の熱跡の式から、任意の $N$ について $\sum_je^{-t\lambda_j}=(4\pi t)^{-1/2}(\ell+O(t^{N+1}))$ です。1 次元の Riemann 多様体は局所的にすべて等長（曲率がない）なので、べきの補正が現れないのは当然です。指数的に小さい補正 $O(e^{-\ell^2/4t})$ は、Hodge 理論 の円周の演習のとおり、一周する測地線から来ます。

演習 8.2標準

平坦トーラス $T^n$ 上で $P=\Delta+V$（$V$ は実数値の滑らかな関数）とする。輸送方程式の解を具体的に書き、$a_1=-V$、$a_2=\dfrac12V^2+\dfrac16\Delta V$ を示せ。$V$ が定数のときに 例 6.6 と一致することを確かめよ。

解答

例 6.5 のとおり $j=1$、$\tau=1$、正規座標は $x\mapsto x-y$ です。$\Phi_0=1$、$P_x\Phi_0=V$ なので 命題 3.2 から

$$\Phi_1(x,y)=-\int_0^1V\bigl(y+\rho(x-y)\bigr)d\rho$$

で、$a_1(y)=\Phi_1(y,y)=-V(y)$ です（命題 6.3 の $F=V$、$s=0$ とも一致）。次に $\Delta_x\Phi_1=-\sum_i\partial_{x_i}^2\Phi_1=\int_0^1\rho^2\sum_i(\partial_i^2V)(y+\rho(x-y))d\rho$ は $x=y$ で $\frac13\sum_i\partial_i^2V(y)=-\frac13\Delta V(y)$、また $V\Phi_1$ は $x=y$ で $-V(y)^2$ です。よって $(P_x\Phi_1)(y,y)=-\frac13\Delta V-V^2$、$a_2=-\frac12(P_x\Phi_1)(y,y)=\frac16\Delta V+\frac12V^2$ です。$V=c$ が定数なら $a_1=-c$、$a_2=c^2/2$ で、例 6.6 の $a'_k=(-c)^k/k!$（平坦なので $a_k=0$、$k\ge1$）と一致します。

演習 8.3標準

$g'=c^2g$（$c\gt0$ は定数）とする。関数の Laplacian について、$g'$ の熱核が $K'_t(x,y)=c^{-n}K_{t/c^2}(x,y)$ であることを示し、係数が $a'_k=c^{-2k}a_k$ と変わることを導け。$a_1=s/6$ がこの変換則と整合することを確かめよ。

解答

座標表示（命題 3.3［Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素］）で $g'^{ij}=c^{-2}g^{ij}$、$\sqrt{|g'|}=c^n\sqrt{|g|}$ なので $\Delta'=c^{-2}\Delta$、$d\mu'=c^nd\mu$ です。$K'_t=c^{-n}K_{t/c^2}$ は $\partial_tK'_t=c^{-n-2}(\partial_\tau K)_{t/c^2}=-c^{-n-2}\Delta K_{t/c^2}=-\Delta'K'_t$ をみたし、$\int K'_t(x,y)f(y)d\mu'(y)=\int K_{t/c^2}(x,y)f(y)d\mu(y)\to f(x)$ です。定理 4.6 の一意性から $K'$ が $g'$ の熱核です。対角で

$$K'_t(x,x)=c^{-n}(4\pi t/c^2)^{-n/2}\sum_k(t/c^2)^ka_k=(4\pi t)^{-n/2}\sum_kt^kc^{-2k}a_k$$

なので、係数の一意性（定理 6.1）から $a'_k=c^{-2k}a_k$ です。一方、Levi-Civita 接続は $g$ の定数倍で変わらないので $R(X,Y)Z$ と $\operatorname{Ric}$ は不変、$s=\operatorname{tr}_g\operatorname{Ric}$ は $c^{-2}$ 倍で、$a'_1=s'/6=c^{-2}s/6$ と整合します。半径 $c$ の球面で曲率が $c^{-2}$ になるのと同じ理由です。

演習 8.4難

$M$ を向き付けられた閉曲面とする。$k$ 形式の Hodge Laplacian $\Delta_k$（$k=0,1,2$）の熱作用素について、$\sum_k(-1)^k\operatorname{Tr}e^{-t\Delta_k}=\chi(M)$ が $t$ によらないこと（McKean–Singer の公式、命題 3.5［指数定理］ と 例 3.3［指数定理］）と、Hodge スターが Laplacian と可換なこと（$\star\Delta_0=\Delta_2\star$）を認めて、熱跡の展開から Gauss–Bonnet の定理 $\chi(M)=\dfrac1{2\pi}\int_MK\,d\mu$（$K$ は Gauss 曲率）を導け。

解答

$\Delta_0$ は関数の Laplacian で $a_1=s/6$ です。1 形式では Bochner の公式（系 5.4［Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素］）から $\Delta_1=\nabla^*\nabla+\operatorname{Ric}$ は $F=\operatorname{Ric}$（自己共役）の Laplace 型作用素なので、命題 6.3 から $a_1=\frac s6-\operatorname{Ric}$、$\operatorname{tr}a_1=2\cdot\frac s6-s$ です。2 形式は Hodge スター $\star$（等長、命題 2.2［Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素］）で関数と対応し、$\star\Delta_0=\Delta_2\star$ なので、熱核の一意性から $\Delta_2$ の熱核は $\Delta_0$ のものを $\star$ で移したもので、熱跡は等しくなります。熱跡の展開（定理 6.1）の $t^{-1}$ の項は $(4\pi t)^{-1}\operatorname{area}(M)(1-2+1)=0$、$t^0$ の項は

$$\frac1{4\pi}\int_M\Bigl(\frac s6-\Bigl(\frac s3-s\Bigr)+\frac s6\Bigr)d\mu=\frac1{4\pi}\int_Ms\,d\mu$$

です。左辺は $t$ によらないので、$t\to0$ として $\chi(M)=\frac1{4\pi}\int_Ms\,d\mu$ です。2 次元では $\operatorname{Ric}=Kg$、$s=2K$ なので $\chi(M)=\frac1{2\pi}\int_MK\,d\mu$ です。

参考文献

• N. Berline, E. Getzler and M. Vergne, Heat Kernels and Dirac Operators, Springer (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 298), 1992 — 第 2 章（一般化 Laplacian の熱核の構成、漸近展開、最初の係数）。本記事の 3〜4 節の構成はこの章の筋に沿っている。
• J. Roe, Elliptic Operators, Topology and Asymptotic Methods, 2nd ed., Longman, 1998 — 第 7 章（熱方程式の小時間展開と係数の計算）。
• P. B. Gilkey, Invariance Theory, the Heat Equation, and the Atiyah–Singer Index Theorem, 2nd ed., CRC Press, 1995（係数 $a_k$ の不変式論による決定と $a_2$ 以降の公式）。
• S. Rosenberg, The Laplacian on a Riemannian Manifold, Cambridge University Press, 1997 — Chapter 3（関数の Laplacian の熱核の構成と漸近展開）。
• S. Minakshisundaram and Å. Pleijel, “Some properties of the eigenfunctions of the Laplace-operator on Riemannian manifolds”, Canadian Journal of Mathematics 1 (1949), 242–256。