Gauss 核と Laplace 型作用素

補題 3.1（「熱核の漸近展開」§3）・ ✓公理まで証明済み

$y$ を固定し、 $x$ について $B(y,2\varepsilon)$ 上で考える。

$\operatorname{grad}_xq_t=-\dfrac{q_t}{2t}\mathcal{X}$ 、 $(\partial_t+\Delta_x)q_t=\dfrac{q_t}{2t}\cdot\dfrac{\mathcal{X}j}{j}$ 。
$\Phi$ を $B(y,2\varepsilon)$ 上の $\operatorname{Hom}(E_y,E)$ の滑らかな切断（ $x$ について $E_x$ に値をとる $E_y$ 上の線形写像）、 $k\ge0$ を整数とすると

(\partial_t+P_x)\bigl(q_t\,t^k\Phi\bigr)=q_t\,t^{k-1}\Bigl(\nabla_{\mathcal{X}}\Phi+\Bigl(k+\frac{\mathcal{X}j}{2j}\Bigr)\Phi\Bigr)+q_t\,t^k\,P_x\Phi .

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 96 件、定義なども含めて 116 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

動径方向の計算✓補題 2.5・熱核の漸近展開
- 一様な正規近傍（コンパクトな場合）✓補題 2.4・熱核の漸近展開
  - 一様な正規近傍✓補題 4.4・測地線と完備性
    指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性（上で展開済み）
    多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
  - 測地線の局所最短性✓定理 4.2・測地線と完備性
    Gauss の補題✓定理 4.1・測地線と完備性（上で展開済み）
  - Riemann 距離✓命題 4.3・測地線と完備性
    指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性（上で展開済み）
    測地線の局所最短性✓定理 4.2・測地線と完備性（上で展開済み）
  - 指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性
    流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
    測地線の存在と一意性✓命題 2.2・測地線と完備性この先をたどる →
    多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
  - 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理
    多様体間の $C^k$ 級写像と微分同相定義 6.3・微分可能多様体の定義
    逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
  - ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
- Gauss の補題✓定理 4.1・測地線と完備性
  - 指数写像の微分と Jacobi 場✓命題 3.4・測地線と完備性
    指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性（上で展開済み）
    Jacobi 場の基本性質✓命題 3.3・測地線と完備性この先をたどる →
    対称性補題と曲率✓補題 3.1・測地線と完備性この先をたどる →
  - 曲率テンソルの対称性✓命題 3.1・曲率テンソル
- 発散の座標表示✓命題 5.5・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
  - 接続の局所性と Christoffel 記号✓命題 4.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
    テンソル判定補題✓補題 2.1・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
    Riemann 計量の存在✓定理 3.6・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
  - Riemann 幾何の基本定理（Levi-Civita）✓定理 5.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
    テンソル判定補題✓補題 2.1・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
  - 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質この先をたどる →
    基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質この先をたどる →
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
接続 Laplacian の計算規則✓補題 2.2・熱核の漸近展開
- Clifford 加群と Dirac 型作用素定義 5.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- 発散の座標表示✓命題 5.5・Riemann 計量と Levi-Civita 接続（上で展開済み）
- 関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 発散の座標表示✓命題 5.5・Riemann 計量と Levi-Civita 接続（上で展開済み）
  - 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理この先をたどる →
- 形式的随伴✓補題 8.6・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
  - 関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

Gauss 核と Laplace 型作用素

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）