動径方向の計算

補題 2.5（「熱核の漸近展開」§2）・ ✓公理まで証明済み

$y$ を固定し、 $B(y,2\varepsilon)$ 上の関数 $r^2=d(\cdot,y)^2$ と $j=j(\cdot,y)$ を考える。

$\operatorname{grad}(r^2/2)=\mathcal{X}$ 、 $|\mathcal{X}|^2=r^2$ 。
$\operatorname{div}\mathcal{X}=n+\dfrac{\mathcal{X}j}{j}$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 86 件、定義なども含めて 102 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

一様な正規近傍（コンパクトな場合）✓補題 2.4・熱核の漸近展開
- 一様な正規近傍✓補題 4.4・測地線と完備性
  - 指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性（上で展開済み）
  - 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
- 測地線の局所最短性✓定理 4.2・測地線と完備性
  - Gauss の補題✓定理 4.1・測地線と完備性（上で展開済み）
- Riemann 距離✓命題 4.3・測地線と完備性
  - 指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性（上で展開済み）
  - 測地線の局所最短性✓定理 4.2・測地線と完備性（上で展開済み）
- 指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性
  - 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
  - 測地線の存在と一意性✓命題 2.2・測地線と完備性
    流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
  - 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
- 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理
  - 多様体間の $C^k$ 級写像と微分同相定義 6.3・微分可能多様体の定義
  - 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
- ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
Gauss の補題✓定理 4.1・測地線と完備性
- 指数写像の微分と Jacobi 場✓命題 3.4・測地線と完備性
  - 指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性（上で展開済み）
  - Jacobi 場の基本性質✓命題 3.3・測地線と完備性
    対称性補題と曲率✓補題 3.1・測地線と完備性（上で展開済み）
    平行移動の存在と線形性✓定理 6.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
    斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系この先をたどる →
  - 対称性補題と曲率✓補題 3.1・測地線と完備性
    曲線に沿った共変微分✓定理 4.3・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
    シュワルツの定理（偏微分の順序交換）✓定理 7.1・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
- 曲率テンソルの対称性✓命題 3.1・曲率テンソル
発散の座標表示✓命題 5.5・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
- 接続の局所性と Christoffel 記号✓命題 4.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
  - テンソル判定補題✓補題 2.1・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
    滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
  - Riemann 計量の存在✓定理 3.6・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
    1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
- Riemann 幾何の基本定理（Levi-Civita）✓定理 5.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
  - テンソル判定補題✓補題 2.1・Riemann 計量と Levi-Civita 接続（上で展開済み）
- 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質
  - 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質

これを使っている定理証明で参照している 1 件

Gauss 核と Laplace 型作用素✓補題 3.1・熱核の漸近展開

動径方向の計算

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件