発散の座標表示

命題 5.5（「Riemann 計量と Levi-Civita 接続」§5）・ ✓公理まで証明済み

$(M,g)$ を Riemann 多様体、 $\nabla$ を Levi-Civita 接続とし、ベクトル場 $X$ の発散を $\operatorname{div}X=\operatorname{tr}(v\mapsto\nabla_vX)$ と定める。座標 $(x^i)$ で $|g|=\det(g_{ij})$ と書くと

\operatorname{div}X=\frac{1}{\sqrt{|g|}}\sum_i\partial_i\bigl(\sqrt{|g|}\,X^i\bigr).

とくに関数 $f$ の Laplace–Beltrami 作用素 $\Delta f=\operatorname{div}\operatorname{grad}f$ は $\Delta f=|g|^{-1/2}\sum_{i,j}\partial_i\bigl(\sqrt{|g|}\,g^{ij}\partial_jf\bigr)$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 13 件、定義なども含めて 13 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

接続の局所性と Christoffel 記号✓命題 4.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
- テンソル判定補題✓補題 2.1・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
  - 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
- Riemann 計量の存在✓定理 3.6・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
  - 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理
    コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
    台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
Riemann 幾何の基本定理（Levi-Civita）✓定理 5.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
- テンソル判定補題✓補題 2.1・Riemann 計量と Levi-Civita 接続（上で展開済み）
余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質
- 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
  - 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
- 基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質
  - 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
- 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
  - 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質

これを使っている定理証明で参照している 4 件

接続 Laplacian の計算規則✓補題 2.2・熱核の漸近展開
動径方向の計算✓補題 2.5・熱核の漸近展開
熱方程式の解の一意性✓補題 4.4・熱核の漸近展開
関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

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閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 4 件