Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則：変分原理・Dirichlet–Neumann bracketing・Faber–Krahn

0. この記事の要点

太鼓の皮を叩くと、形に応じた音の高さ（振動数）がいくつも出ます。この記事は、振動数の範囲を高い方へ広げていったときに音がいくつあるかを数えると、その増え方が（領域の境界の測度が $0$ なら）皮の面積だけで決まってしまう、という事実を証明します。さらに、同じ面積の皮の中でいちばん低い音が最も低くなる形は円だ、ということも示します。読み終えると、固有値を一つずつ求めなくても、試験関数の空間の次元を数えるだけで固有値の個数を評価する方法がわかります。

• 下に有界な自己共役作用素の固有値の個数 $N(\lambda)$ は、「形式定義域の部分空間で、二次形式が $\lambda\|u\|^2$ 以下になるものの最大次元」に等しくなります（変分原理）。固有関数を知らなくても、試験関数の空間を作るだけで固有値を数えられます。
• 有界領域 $\Omega$ の中に互いに交わらない立方体を並べると、Dirichlet ラプラシアンの固有値の個数は、各立方体の Dirichlet 固有値の個数の和以上になります。逆に $\Omega$ を立方体で覆うと、各立方体の Neumann 固有値の個数の和以下になります（Dirichlet–Neumann bracketing）。
• 立方体の固有値は $\pi^2|k|^2/a^2$（$k$ は格子点、すなわち成分がすべて整数の点）なので、数えるのは球の中の格子点です。その数は体積 $\omega_nR^n/2^n$ で近似できます（$\omega_n$ は $\mathbb{R}^n$ の単位球の体積です）。
• 境界の測度が $0$ の有界領域では $N(\lambda)\sim\dfrac{\omega_n|\Omega|}{(2\pi)^n}\lambda^{n/2}$（Weyl の漸近公式）、同値に $\lambda_k\sim4\pi^2\bigl(k/(\omega_n|\Omega|)\bigr)^{2/n}$ です。固有値の漸近は領域の体積だけで決まり、形にはよりません。
• 一方、最低固有値は形に依存し、同じ体積の領域の中で球が最小です（Faber–Krahn の不等式）。等高集合を同じ体積の球に詰め直す再配置で勾配のノルムが増えないこと（Pólya–Szegő）を、熱核と 2 点の入れ替え（分極）で示して証明します。

この記事で使う事前知識

• 自己共役作用素とスペクトル測度: 実対称行列の無限次元版が自己共役作用素で、スペクトル測度は「固有空間への射影」を連続的なスペクトルにも広げたものです。→ 自己共役作用素、スペクトル定理
• $H^1_0(\Omega)$: 関数とその（弱い意味の）勾配がともに二乗可積分で、境界で $0$ になる関数の空間です。→ 楕円型方程式の弱解と変分法
• 正規直交基底: 長さ 1 で互いに直交するベクトルの族で、すべてのベクトルをその線形結合（の極限）で表せるものです。→ 正規直交基底
• Parseval の等式: 正規直交基底で展開したときの係数の二乗和が、元の関数の $L^2$ ノルムの二乗に等しいという等式です。→ フーリエ級数
• Fourier 変換: 関数を振動数ごとの成分に分解する変換で、第 6.3 節で熱核の計算に使います。→ Fourier 変換

1. 動機

太鼓の膜の振動数は、膜の形の領域 $\Omega$ の Dirichlet ラプラシアンの固有値 $\lambda_k$ の平方根に比例します。1910 年に Lorentz は、空洞放射の理論（Rayleigh–Jeans の法則）の根拠として「高い振動数のモードの数は空洞の体積だけで決まるか」を問い、1911 年に Weyl がこれを証明しました。それが本章の Weyl の漸近公式です。Kac の有名な問い「太鼓の形を音で聞き分けられるか」（1966 年）は、この公式の続きにあります。体積は聞き取れますが、形全体は一般には聞き取れません（等スペクトルで合同でない領域が存在する）。

この公式は作用素論の言葉でも重要です。$\lambda_k\sim Ck^{2/n}$ は、$(-\Delta_D)^{-1/2}$ の特異値が $k^{-1/n}$ の速さで減衰することを意味します。非可換幾何学の計量次元は、まさにこの減衰の指数で空間の次元を読み取るものです（スペクトル三つ組 の Weyl の法則）。本章は、その最も基本的な場合である $\mathbb{R}^n$ の有界領域で、公式を完全に証明します。

道具は 3 つです。第 4 章の形式の方法で定めた Dirichlet ラプラシアン $-\Delta_D$、固有値を数える変分原理、そして立方体という「固有値がすべてわかる領域」との比較です。

2. 変分原理

この節の目標は、固有値の個数 $N(\lambda)$ を、固有関数を求めずに「条件を満たす部分空間の最大次元」として表すことです。以降の節ではこの形だけを使います。

$A\ge0$ を Hilbert 空間 $\mathcal{H}$ 上の自己共役作用素、$E_A$ をそのスペクトル測度（定理 5.5［スペクトル定理と関数計算］）とし、$A$ に対応する閉形式を $q(u)=\|A^{1/2}u\|^2$、$Q(q)=D(A^{1/2})$ とします（定理 4.2［自己共役性の判定］）。$\mu_u(\cdot)=\langle u,E_A(\cdot)u\rangle$ と書くと、スペクトル積分の基本定理（定理 4.3［スペクトル定理と関数計算］）から $u\in Q(q)$ について $q(u)=\int s\,d\mu_u(s)$、$\|u\|^2=\mu_u(\mathbb{R})$ です。

定義 2.1（固有値の計数関数）↗

$\lambda\in\mathbb{R}$ について $N(\lambda;A)=\dim\operatorname{Ran}E_A\bigl((-\infty,\lambda]\bigr)\in\{0,1,2,\ldots\}\cup\{\infty\}$ とおく。

次の補題の証明の方針です。$\lambda$ 以下のスペクトルに対応する部分空間 $\operatorname{Ran}E_A((-\infty,\lambda])$ の次元が $N(\lambda;A)$ です。一方、それより次元の大きい部分空間は、必ずこの空間と直交する元を含み、その元では $q(u)$ が $\lambda\|u\|^2$ より大きくなってしまいます。

補題 2.2（変分原理（計数関数版））✓

$$N(\lambda;A)=\sup\bigl\{\dim F\ \bigm|\ F\subset Q(q)\text{ は有限次元部分空間で、すべての }u\in F\text{ について }q(u)\le\lambda\|u\|^2\bigr\}.$$

証明（補題 2.2）

$P=E_A((-\infty,\lambda])$ とします。$u\in\operatorname{Ran}P$ なら $\mu_u$ の台は $[0,\lambda]$ に入るので $u\in D(A)\subset Q(q)$、$q(u)=\int_{[0,\lambda]}s\,d\mu_u\le\lambda\|u\|^2$ です。よって $\operatorname{Ran}P$ の有限次元部分空間はすべて右辺の集合に入り、右辺 $\ge N(\lambda;A)$ です。

逆に、$N(\lambda;A)\lt\infty$ で、$F$ が右辺の条件を満たし $\dim F\gt N(\lambda;A)$ であるとします。線形写像 $P|_F:F\to\operatorname{Ran}P$ は次元の比較から単射でないので、$Pu=0$ となる $u\in F\setminus\{0\}$ があります。このとき $\mu_u((-\infty,\lambda])=\|Pu\|^2=0$ なので $\mu_u$ は $(\lambda,\infty)$ に台をもつ $0$ でない測度で、

$$q(u)=\int_{(\lambda,\infty)}s\,d\mu_u(s)\gt\lambda\,\mu_u(\mathbb{R})=\lambda\|u\|^2$$

となって矛盾します（$s\gt\lambda$ の上で $s-\lambda\gt0$ を積分すると正）。

∎

$N(\lambda;A)\lt\infty$ がすべての $\lambda$ で成り立てば、$\operatorname{Ran}E_A((-\infty,\lambda])$ は $A$ で不変な有限次元空間で、そこで $A$ は対称行列として対角化できます。$\lambda\to\infty$ で $E_A((-\infty,\lambda])\to1$（強収束）なので、$A$ は固有値 $0\le\lambda_1\le\lambda_2\le\cdots\to\infty$（重複度こみ）と正規直交固有基底をもち、$N(\lambda;A)=\#\{k\mid\lambda_k\le\lambda\}$ です。補題 2.2 は、ミニマックス原理（定理 6.3［作用素の収束と摂動］）を計数関数の形に言い換えたものです。

3. Dirichlet ラプラシアンと立方体

3.1. Dirichlet ラプラシアン

$\Omega\subset\mathbb{R}^n$ を有界な開集合とし、第 4 章のとおり $-\Delta_D^\Omega$ を、閉形式 $q_\Omega(u)=\int_\Omega|\nabla u|^2dx$（$Q(q_\Omega)=H^1_0(\Omega)$）の表す $L^2(\Omega)$ 上の自己共役作用素とします（命題 6.1［楕円型方程式の弱解と変分法］）。$N_\Omega(\lambda)=N(\lambda;-\Delta_D^\Omega)$ と書きます。

$u\in H^1_0(\Omega)$ を $\Omega$ の外で $0$ とおいた関数 $\tilde u$ は $H^1(\mathbb{R}^n)$ に属し、$\nabla\tilde u$ は $\nabla u$ を $0$ で延ばしたものです。$C_c^\infty(\Omega)$ の元では明らかで、$H^1$ ノルムが保たれるので閉包に延びるからです。

系 3.1（領域の単調性）✓

有界な開集合 $\Omega\subset\Omega'$ について $N_\Omega(\lambda)\le N_{\Omega'}(\lambda)$。固有値で言えば $\lambda_k(\Omega)\ge\lambda_k(\Omega')$ である。

証明（系 3.1）

$0$ による延長で $H^1_0(\Omega)\subset H^1_0(\Omega')$ とみなせ、$L^2$ ノルムと $\int|\nabla u|^2$ は変わりません。補題 2.2 の右辺の集合が大きくなるだけです。

∎

3.2. 立方体上の基底

$a\gt0$ とし、区間 $(0,a)$ 上の関数

$$s_m(t)=\sqrt{\tfrac2a}\sin\frac{m\pi t}a\ (m\ge1),\qquad c_0(t)=\sqrt{\tfrac1a},\quad c_m(t)=\sqrt{\tfrac2a}\cos\frac{m\pi t}a\ (m\ge1)$$

を考えます。$s_m'=\frac{m\pi}ac_m$、$c_m'=-\frac{m\pi}as_m$（$m\ge1$）です。

補題 3.2（正弦・余弦の基底）✓

$\{s_m\}_{m\ge1}$ と $\{c_m\}_{m\ge0}$ はそれぞれ $L^2(0,a)$ の正規直交基底である。立方体 $Q=x_0+(0,a)^n$ 上の積 $s_k(x)=\prod_is_{k_i}(x_i-x_{0,i})$（$k\in\mathbb{N}^n$）、$e_k(x)=\prod_ic_{k_i}(x_i-x_{0,i})$（$k\in\mathbb{N}_0^n$）は、それぞれ $L^2(Q)$ の正規直交基底である。

証明（補題 3.2）

正規直交性は積分の直接計算です。完備性: $f\in L^2(0,a)$ が全ての $c_m$ と直交するとし、$f$ を $(-a,a)$ に偶関数として延ばして周期 $2a$ の関数とみると、その指数関数 $e^{im\pi t/a}$ による Fourier 係数は余弦の係数の定数倍なのですべて $0$ です。変数を $\theta=\pi t/a$ に替えて Parseval の等式（定理 5.1［フーリエ級数］）を使えば $f=0$ です。正弦は奇関数として延ばせば同じです。

積については $n$ についての帰納法を使います。$f\in L^2(Q)$ が全ての積と直交するとし、$x=(x',x_n)$ と分けます。Tonelli の定理からほとんどすべての $x_n$ で $f(\cdot,x_n)\in L^2$ です。$(n-1)$ 変数の積 $e_{k'}$ を固定すると、$g(x_n)=\int f(x',x_n)e_{k'}(x')\,dx'$ は $L^2(0,a)$ の元で、Fubini の定理から全ての $c_{k_n}$ と直交するので $g=0$ a.e. です。$k'$ は可算個なので、ほとんどすべての $x_n$ で $f(\cdot,x_n)$ は全ての $e_{k'}$ と直交し、帰納法の仮定から $0$ です。よって $f=0$ です。

∎

$\mu_k=\pi^2|k|^2/a^2$ とおきます。次の 2 つの補題が、立方体の Dirichlet 固有値と Neumann 固有値の役割を果たします。ここで Dirichlet 条件は境界で関数が $0$ になるという条件で、正弦がこれを満たします。Neumann 条件は境界で外向きの法線方向の微分が $0$ になるという条件で、余弦がこれを満たします。1 つ目の補題は正弦の試験関数で固有値の個数を下から、2 つ目は余弦への展開で上から評価するための準備です。

補題 3.3（立方体の Dirichlet 試験関数）✓

$Q=x_0+(0,a)^n$ とし、$s_k$ を $Q$ の外で $0$ とおく。このとき $s_k\in H^1_0(Q)$ で、有限和 $u=\sum_kb_ks_k$ について

$$\int_Q|\nabla u|^2dx=\sum_k\mu_k|b_k|^2,\qquad\|u\|^2=\sum_k|b_k|^2 .$$

証明（補題 3.3）

$x_0=0$ とします。1 変数関数 $t\mapsto s_m(t)\mathbf 1_{(0,a)}(t)$ は、$s_m(0)=s_m(a)=0$ なので部分積分で境界項が出ず、弱微分 $s_m'\mathbf 1_{(0,a)}$ をもちます。積の関数の弱偏微分は、Fubini の定理で 1 変数の場合に帰着して $\partial_is_k=\frac{k_i\pi}a\,c_{k_i}(x_i)\prod_{j\ne i}s_{k_j}(x_j)$（$Q$ の外では $0$）です。よって $s_k\in H^1(\mathbb{R}^n)$ で、$s_k$ は Lipschitz 連続です。

$H^1_0(Q)$ に入ることを示します。中心 $z$ の周りの縮小 $v_\delta(x)=s_k\bigl(z+(x-z)/(1-\delta)\bigr)$ は、台が $Q$ の中のコンパクト集合で、補題 2.1［楕円型正則性と最大値原理］ により $H^1_0(Q)$ に属します。$\delta\to0$ のとき $v_\delta\to s_k$ は一様収束、$\nabla v_\delta\to\nabla s_k$ は $\partial Q$（測度 $0$）の外で各点収束で一様に有界なので、優収束定理から $H^1$ で収束します。$H^1_0(Q)$ は閉なので $s_k\in H^1_0(Q)$ です。

等式: $\|u\|^2$ は正規直交性からです。$\partial_iu=\sum_kb_k\frac{k_i\pi}a\,\tilde s^{(i)}_k$、$\tilde s^{(i)}_k=c_{k_i}(x_i)\prod_{j\ne i}s_{k_j}(x_j)$ で、$k_i\ge1$ の範囲で $\{\tilde s^{(i)}_k\}_k$ は正規直交なので $\|\partial_iu\|^2=\sum_k(k_i\pi/a)^2|b_k|^2$ です。$i$ について足します。

∎

補題 3.4（立方体の Neumann 型の下からの評価）✓

$Q=x_0+(0,a)^n$ とする。$u\in H^1(\mathbb{R}^n)$ について

$$\int_Q|\nabla u|^2dx\ge\sum_{k\in\mathbb{N}_0^n}\mu_k\,|\langle u,e_k\rangle_{L^2(Q)}|^2 .$$

証明（補題 3.4）

まず $u\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$ とし、$x_0=0$ とします。$i$ を固定し、$k_i\ge1$ の $k$ について $f^{(i)}_k=s_{k_i}(x_i)\prod_{j\ne i}c_{k_j}(x_j)$ とおくと、$\{f^{(i)}_k\}$ は $L^2(Q)$ の正規直交系です。$x_i$ について部分積分すると、$s_{k_i}$ が $x_i=0,a$ で $0$ なので境界項は出ず（Fubini の定理で 1 変数に帰着）、

$$\langle\partial_iu,f^{(i)}_k\rangle=-\langle u,\partial_if^{(i)}_k\rangle=-\frac{k_i\pi}a\langle u,e_k\rangle$$

です。Bessel の不等式（定理 6.2［Hilbert 空間の基礎］）から $\|\partial_iu\|_{L^2(Q)}^2\ge\sum_{k_i\ge1}(k_i\pi/a)^2|\langle u,e_k\rangle|^2$ で、$k_i=0$ の項は $0$ なので和は全ての $k$ にわたるとしてよく、$i$ について足せば主張です。

一般の $u\in H^1(\mathbb{R}^n)$ は、$C_c^\infty$ の列 $u_m\to u$（$H^1$、定理 2.4［Sobolev 空間］）で近似します。左辺は収束し、右辺の各項は収束するので、Fatou の補題（数え上げ測度について）から右辺は $u$ に対しても左辺以下です。

∎

右辺は、基底 $e_k$ で対角化される作用素（固有値 $\mu_k$）の二次形式で、これが立方体の Neumann ラプラシアンです（余弦は $\partial_\nu e_k=0$ を満たす）。この補題はその作用素の定義域の詳細に立ち入らずに済む形にしてあります。

4. Dirichlet–Neumann bracketing

立方体の計数関数を

$$N^D_a(\lambda)=\#\Bigl\{k\in\mathbb{N}^n\Bigm|\frac{\pi^2|k|^2}{a^2}\le\lambda\Bigr\},\qquad N^N_a(\lambda)=\#\Bigl\{k\in\mathbb{N}_0^n\Bigm|\frac{\pi^2|k|^2}{a^2}\le\lambda\Bigr\}$$

とおきます（辺の長さ $a$ だけで決まる）。

Bracketing。Ω の中に収まる格子の立方体（塗り）で下から、Ω を覆う格子の立方体（枠）で上から固有値の個数を挟む

定理 4.1（Dirichlet–Neumann bracketing）✓

$\Omega\subset\mathbb{R}^n$ を有界な開集合、$\lambda\ge0$ とする。

1. $Q_1,\ldots,Q_p$ が $\Omega$ に含まれる互いに交わらない開立方体で、辺の長さがすべて $a$ なら、$N_\Omega(\lambda)\ge p\,N^D_a(\lambda)$。
2. 閉立方体 $\bar Q_1,\ldots,\bar Q_P$ が、内部が互いに交わらず、辺の長さがすべて $a$ で、$\Omega\subset\bigcup_j\bar Q_j$ を満たすなら、$N_\Omega(\lambda)\le P\,N^N_a(\lambda)$。

特に $N_\Omega(\lambda)\lt\infty$ で、$-\Delta_D^\Omega$ は固有値 $0\lt\lambda_1\le\lambda_2\le\cdots\to\infty$ と正規直交固有基底をもつ。

証明（定理 4.1）

1. $F$ を、$\mu_k\le\lambda$ を満たす $k$ と $j=1,\ldots,p$ にわたる関数 $s_k^{(Q_j)}$（$Q_j$ 上の 補題 3.3 の関数）の張る空間とします。補題 3.3 とその前の延長の注意から $F\subset H^1_0(\Omega)$ です。異なる立方体の関数は台が交わらないので、$u=\sum_j\sum_kb^{(j)}_ks^{(Q_j)}_k$ について

$$q_\Omega(u)=\sum_j\sum_k\mu_k|b^{(j)}_k|^2\le\lambda\sum_j\sum_k|b^{(j)}_k|^2=\lambda\|u\|^2$$

で、$\dim F=pN^D_a(\lambda)$ です。補題 2.2 から $N_\Omega(\lambda)\ge\dim F$ です。

2. $F\subset H^1_0(\Omega)$ を、全ての $u\in F$ で $q_\Omega(u)\le\lambda\|u\|^2$ を満たす有限次元部分空間とし、$\dim F\le M=PN^N_a(\lambda)$ を示せば 補題 2.2 から主張が出ます。$\dim F\gt M$ と仮定すると、$M$ 個の線形条件 $\langle\tilde u,e^{(j)}_k\rangle_{L^2(Q_j)}=0$（$j=1,\ldots,P$、$\mu_k\le\lambda$）を満たす $u\in F\setminus\{0\}$ があります（$\tilde u$ は $0$ による延長、$e^{(j)}_k$ は $Q_j$ 上の余弦の積）。立方体の境界は測度 $0$ なので、補題 3.2 の Parseval の等式から

$$\|u\|^2=\sum_j\|\tilde u\|_{L^2(Q_j)}^2=\sum_j\sum_{\mu_k\gt\lambda}|\langle\tilde u,e^{(j)}_k\rangle|^2$$

です。一方 補題 3.4 を各 $Q_j$ で $\tilde u\in H^1(\mathbb{R}^n)$ に使うと

$$\lambda\|u\|^2\ge q_\Omega(u)=\sum_j\int_{Q_j}|\nabla\tilde u|^2\ge\sum_j\sum_{\mu_k\gt\lambda}\mu_k|\langle\tilde u,e^{(j)}_k\rangle|^2\gt\lambda\sum_j\sum_{\mu_k\gt\lambda}|\langle\tilde u,e^{(j)}_k\rangle|^2=\lambda\|u\|^2$$

です。最後の不等号が真に成り立つのは、$u\ne0$ なので係数のどれかが $0$ でないからです。これは矛盾です。

最後の主張。 有界な $\Omega$ は有限個の立方体で覆えるので 2 から $N_\Omega(\lambda)\lt\infty$ で、補題 2.2 の後の注意が使えます。$\lambda_1\gt0$ は Poincaré の不等式（補題 2.1［楕円型方程式の弱解と変分法］）からです。

∎

離散スペクトルであることは Rellich のコンパクト性定理（系 5.2［Sobolev 空間］）からも出ますが、bracketing はコンパクト性を使わずに、しかも定量的に固有値の個数を与えます。Dirichlet 条件は「境界を固定して振動を制限する」ので固有値を上げ（個数を減らし）、Neumann 条件は「境界を自由にする」ので固有値を下げます（個数を増やす）。立方体を切り離して Dirichlet 条件を課すと下から、Neumann 条件を課すと上から評価できる、というのが bracketing の考え方です。

5. Weyl の漸近公式

補題 5.1（格子点の数え上げ）✓

$R\ge0$ について

$$\frac{\omega_n}{2^n}\bigl(R-\sqrt n\bigr)_+^n\le\#\{k\in\mathbb{N}^n\mid|k|\le R\}\le\#\{k\in\mathbb{N}_0^n\mid|k|\le R\}\le\frac{\omega_n}{2^n}\bigl(R+\sqrt n\bigr)^n .$$

ここで $t_+=\max(t,0)$ である。

証明（補題 5.1）

下からの評価。 $D=\{x\mid x_i\gt0\ (\forall i),\ |x|\le R-\sqrt n\}$ の体積は、球の $2^n$ 個の象限の一つなので $\omega_n(R-\sqrt n)_+^n/2^n$ です。$x\in D$ に $k=(\lceil x_1\rceil,\ldots,\lceil x_n\rceil)\in\mathbb{N}^n$ を対応させると $|k-x|\le\sqrt n$ なので $|k|\le R$ です。よって $D$ は、$|k|\le R$ を満たす $k\in\mathbb{N}^n$ についての単位立方体 $\prod_i(k_i-1,k_i]$ の和に含まれ、体積を比べて主張が出ます。

上からの評価。 $k\in\mathbb{N}_0^n$、$|k|\le R$ について単位立方体 $k+[0,1)^n$ は互いに交わらず、すべて $\{x\mid x_i\ge0,\ |x|\le R+\sqrt n\}$ に含まれます。体積を比べます。

∎

$R=a\sqrt\lambda/\pi$ とおくと、$\frac{\omega_n}{2^n}R^n=\frac{\omega_na^n}{(2\pi)^n}\lambda^{n/2}$ です。$C_W=\omega_n/(2\pi)^n$ とおけば、補題 5.1 から

$$C_Wa^n\lambda^{n/2}\Bigl(1-\frac{\pi\sqrt n}{a\sqrt\lambda}\Bigr)_+^n\le N^D_a(\lambda)\le N^N_a(\lambda)\le C_Wa^n\lambda^{n/2}\Bigl(1+\frac{\pi\sqrt n}{a\sqrt\lambda}\Bigr)^n$$

です。立方体 1 つについては、$N(\lambda)$ が「体積 $\times\,C_W\lambda^{n/2}$」で近似され、誤差は表面積程度の $O(a^{n-1}\lambda^{(n-1)/2})$ です。

次の定理の証明の方針です。$\Omega$ の内側に格子の立方体を詰めると $V_m^-$、外側から覆うと $V_m^+$ の体積になり、格子を細かくすると両方が $|\Omega|$ に近づきます。各 $m$ で 定理 4.1 が個数を $C_WV_m^-\lambda^{n/2}$ 程度と $C_WV_m^+\lambda^{n/2}$ 程度で挟むので、$m\to\infty$ で挟み込みが閉じます。

定理 5.2（Weyl の漸近公式）✓

$\Omega\subset\mathbb{R}^n$ を有界な開集合で、境界の Lebesgue 測度が $|\partial\Omega|=0$ を満たすものとする。このとき

$$\lim_{\lambda\to\infty}\frac{N_\Omega(\lambda)}{\lambda^{n/2}}=\frac{\omega_n|\Omega|}{(2\pi)^n}.$$

同値に、$-\Delta_D^\Omega$ の固有値（重複度こみ）は $k\to\infty$ で

$$\lambda_k\sim4\pi^2\Bigl(\frac k{\omega_n|\Omega|}\Bigr)^{2/n}.$$

証明（定理 5.2）

$m\in\mathbb{N}$ について、辺の長さ $a=2^{-m}$ の格子の閉立方体 $\prod_i[j_ia,(j_i+1)a]$（$j\in\mathbb{Z}^n$）を考えます。そのうち $\Omega$ に含まれるものの個数を $p_m$、$\Omega$ と交わるものの個数を $P_m$ とし、$V_m^-=p_ma^n$、$V_m^+=P_ma^n$ とおきます。

体積の収束。 $\Omega$ に含まれる閉立方体の和を $K_m$ とすると、立方体を $2^n$ 等分しても $\Omega$ に含まれるので $K_m\subset K_{m+1}$ です。$x\in\Omega$ なら $\operatorname{dist}(x,\partial\Omega)\gt0$ なので、$\sqrt n\,2^{-m}$ がそれより小さくなれば $x$ を含む格子の閉立方体は $\Omega$ に含まれます。よって $\bigcup_mK_m=\Omega$ で、測度の連続性から $V_m^-=|K_m|\to|\Omega|$ です。同様に、$\Omega$ と交わる閉立方体の和 $L_m$ は減少列で、$\bigcap_mL_m\subset\bar\Omega$ です（$\bar\Omega$ の外の点は $\Omega$ から正の距離にあるので、細かい立方体はその点と $\Omega$ の両方を含めない）。よって $V_m^+=|L_m|\to|\bigcap_mL_m|\le|\bar\Omega|=|\Omega|$ で、$V_m^+\ge V_m^-$ と合わせて $V_m^+\to|\Omega|$ です。最後に $|\partial\Omega|=0$ を使いました。

挟み込み。 $m$ を固定します。$K_m$ を作る閉立方体の内部は $\Omega$ に含まれる互いに交わらない開立方体なので、定理 4.1 の 1 と上の評価から

$$\liminf_{\lambda\to\infty}\frac{N_\Omega(\lambda)}{\lambda^{n/2}}\ge\liminf_{\lambda\to\infty}\frac{p_mN^D_a(\lambda)}{\lambda^{n/2}}=p_mC_Wa^n=C_WV_m^-$$

です。$L_m$ を作る閉立方体は $\Omega$ を覆うので、定理 4.1 の 2 から同様に $\limsup N_\Omega(\lambda)/\lambda^{n/2}\le C_WV_m^+$ です。$m\to\infty$ とすれば第 1 の主張です。

固有値の漸近。 $C=C_W|\Omega|$ とおきます。$\lambda_k\to\infty$ で、$N_\Omega(\lambda_k)\ge k$ なので $k\le C\lambda_k^{n/2}(1+o(1))$ です。また $0\lt\varepsilon\lt1$ について $(1-\varepsilon)\lambda_k\lt\lambda_k$ なので $N_\Omega((1-\varepsilon)\lambda_k)\le k-1$、すなわち $C(1-\varepsilon)^{n/2}\lambda_k^{n/2}(1+o(1))\le k$ です。よって $\lambda_k^{n/2}/k\to1/C$ で、両辺を $2/n$ 乗して $C^{-2/n}=4\pi^2(\omega_n|\Omega|)^{-2/n}$ を使えば第 2 の主張です。

∎

定数 $C_W|\Omega|\lambda^{n/2}=\frac{|\Omega|\cdot\omega_n\lambda^{n/2}}{(2\pi)^n}$ は、相空間 $\{(x,\xi)\mid x\in\Omega,\ |\xi|^2\le\lambda\}$ の体積を $(2\pi)^n$ で割ったものです。「量子状態は相空間の体積 $(2\pi\hbar)^n$ ごとに 1 つ」という半古典的な数え方そのもので、Weyl の公式はその厳密な形です。

注意 5.3（より精密な結果（主張））

1. 境界の測度に関する仮定 $|\partial\Omega|=0$ は外せ、Dirichlet 条件の Weyl の公式は任意の有界開集合で成り立ちます（Birman–Solomyak、Rozenblum。内側の近似は本章と同じで、外側は $\Omega$ のうち立方体で埋め残した部分の固有値の個数を、その部分の体積で一様に抑える評価を使う）。
2. 境界が滑らかで、周期的なビリヤード軌道が測度 $0$ であるという条件のもとで、第 2 項まで $N_\Omega(\lambda)=C_W|\Omega|\lambda^{n/2}-\frac14\frac{\omega_{n-1}}{(2\pi)^{n-1}}|\partial\Omega|\lambda^{(n-1)/2}+o(\lambda^{(n-1)/2})$ が成り立ちます（Ivrii, 1980。$|\partial\Omega|$ は境界の面積）。立方体の評価に現れた表面積程度の誤差は、この第 2 項の現れです。
3. コンパクト Riemann 多様体の Laplace–Beltrami 作用素や Dirac 作用素についても、$|\Omega|$ を体積に替えた同じ形の公式が成り立ちます（スペクトル三つ組 の Weyl の法則）。証明には局所座標での bracketing、あるいは熱核の短時間漸近と Tauber 型定理を使います。

6. Faber–Krahn の不等式

Weyl の公式は高い固有値が体積だけで決まることを言いますが、最低固有値 $\lambda_1(\Omega)$ は形に強く依存します。系 3.1 により、$\Omega$ を大きくすると $\lambda_1$ は下がります。体積を固定したときに $\lambda_1$ を最小にする形を与えるのが次の定理です。

証明の方針は、第 1 固有関数 $u\ge0$ を、各等高集合 $\{u\gt t\}$ を同じ体積の中心の球に詰め直した関数 $u^*$（対称減少再配置、Schwarz 対称化）に置き換えることです。等高集合の体積が同じなので $\|u^*\|_{L^2}=\|u\|_{L^2}$ で、勾配のノルムは増えません（Pólya–Szegő の不等式）。したがって Rayleigh 商が下がり、球の第 1 固有値以下になります。Pólya–Szegő の不等式の古典的な証明は等周不等式と余面積公式を使いますが、ここでは熱核による勾配の特徴づけと、2 点の値を入れ替える分極の繰り返しによる近似を使い、等周不等式を経由せずに示します。

6.1. 対称減少再配置

$|A|$ は Lebesgue 測度です。測度有限の可測集合 $A\subset\mathbb{R}^n$ に対し、$A^*$ を $|A^*|=|A|$ を満たす原点中心の開球（$|A|=0$ なら $A^*=\emptyset$）とします。

定義 6.1（対称減少再配置）↗

可測関数 $f\ge0$ が、すべての $t\gt0$ で $|\{f\gt t\}|\lt\infty$ を満たすとする。

$$f^*(x)=\int_0^\infty\mathbf 1_{\{f\gt t\}^*}(x)\,dt$$

を $f$ の対称減少再配置という。$f\in L^2$ ならこの条件は Chebyshev の不等式 $|\{f\gt t\}|\le t^{-2}\|f\|_2^2$ から満たされる。

補題 6.2（再配置の基本性質）✓

$f,g\ge0$ を 定義 6.1 の条件を満たす可測関数とする。

1. すべての $t\gt0$ で $\{f^*\gt t\}=\{f\gt t\}^*$。とくに $f^*$ は $|x|$ だけの関数で、$|x|$ について非増加である。
2. $f\in L^2$ なら $\|f^*\|_2=\|f\|_2$。
3. $f,g\in L^2$ なら $\int fg\le\int f^*g^*$ で、$\|f^*-g^*\|_2\le\|f-g\|_2$。
4. すべての $t\gt0$ で $|\{f\gt t\}|=|\{g\gt t\}|$ なら $f^*=g^*$。$f$ が測度有限の集合 $\Omega$ の外でほとんど至るところ $0$ なら、$f^*$ は $\Omega^*$ の外で $0$ である。

証明（補題 6.2）

1. $\{f\gt t\}^*$ の半径を $r(t)$ とします。$r$ は非増加で、測度の連続性（$\{f\gt t\}=\bigcup_k\{f\gt t+1/k\}$）から右連続です。$t\mapsto\mathbf 1(|x|\lt r(t))$ は $t$ について非増加なので、$f^*(x)=\sup\{t\gt0:r(t)\gt|x|\}$（空なら $0$）です。$f^*(x)\gt t$ なら $r(t')\gt|x|$ となる $t'\gt t$ があり $r(t)\ge r(t')\gt|x|$。逆に $r(t)\gt|x|$ なら右連続性から $r(t')\gt|x|$ となる $t'\gt t$ があり $f^*(x)\ge t'\gt t$。よって $\{f^*\gt t\}=\{|x|\lt r(t)\}$ です。

2. Tonelli の定理から $\int f^2dx=\int_0^\infty2t|\{f\gt t\}|dt$ で、1 から右辺は $f^*$ でも同じです。

3. Tonelli の定理から

$$\int fg\,dx=\int_0^\infty\!\!\int_0^\infty|\{f\gt s\}\cap\{g\gt t\}|\,ds\,dt\le\int_0^\infty\!\!\int_0^\infty\min\bigl(|\{f\gt s\}|,|\{g\gt t\}|\bigr)ds\,dt .$$

原点中心の 2 つの球の共通部分は小さい方の球なので、右辺の被積分関数は $|\{f\gt s\}^*\cap\{g\gt t\}^*|=|\{f^*\gt s\}\cap\{g^*\gt t\}|$ に等しく、同じ計算を逆にたどって右辺は $\int f^*g^*$ です。すると 2 から $\|f^*-g^*\|_2^2=\|f\|_2^2+\|g\|_2^2-2\int f^*g^*\le\|f-g\|_2^2$。

4. 前半は定義から明らかです。後半は $|\{f\gt t\}|\le|\Omega|$ から $\{f\gt t\}^*\subset\Omega^*$ で、$f^*(x)\gt0$ ならある $t\gt0$ で $x\in\{f^*\gt t\}\subset\Omega^*$ となることによります。

∎

6.2. 分極

この節の目的は、一般の関数を、球対称な山 $f^*$ に近づける具体的な操作を作ることです。分極は、平面を 1 枚の超平面で折り返し、鏡に映った 2 点での値のうち大きい方を原点のある側に置く、という操作です。値の集まり（等高集合の体積）は変わらず、1 回ごとに大きい値が原点側に集まります。これを繰り返して $f^*$ に近づけるのが 補題 6.5 で、そこに至る補題は、分極しても体積・$L^2$ ノルム・畳み込みの積分が悪くならないことを確かめるためのものです。

$H\subset\mathbb{R}^n$ を原点を含む開半空間、$\sigma=\sigma_H$ を境界の超平面 $\partial H$ に関する鏡映とします。$\sigma$ は等長な対合で Lebesgue 測度を保ち、$H$ を $\mathbb{R}^n\setminus\bar H$ に移します。$\partial H$ までの距離を $d(z)$ と書くと、$x,y\in H$ について

$$|x-\sigma y|^2=|x-y|^2+4d(x)d(y)$$

です（$\sigma y=y+2d(y)\nu$、$\nu$ は $H$ から外向きの単位法線）。とくに $x,y\in H$ なら $|x-\sigma y|\ge|x-y|$、また $y=0\in H$ として $x\in H$ なら $|\sigma x|=|x-\sigma0|\gt|x|$ です。

定義 6.3（分極）↗

関数 $f\ge0$ の $H$ に関する分極 $f^H$ を、$x\in H$ では $f^H(x)=\max(f(x),f(\sigma x))$、$x\notin H$ では $f^H(x)=\min(f(x),f(\sigma x))$ で定める。原点を含む開半空間 $H_1,\ldots,H_m$ について次々に分極を取ったもの $(\cdots(f^{H_1})^{H_2}\cdots)^{H_m}$ を反復分極という（$m=0$ なら $f$ 自身）。

$x\in H$ について、組 $(f^H(x),f^H(\sigma x))$ は組 $(f(x),f(\sigma x))$ の並べ替えで、大きい方を $H$ 側に置いたものです。

補題 6.4（分極の性質）✓

$f,g\ge0$ を $L^2(\mathbb{R}^n)$ の元とし、$H$ を原点を含む開半空間とする。

1. すべての $t\gt0$ で $|\{f^H\gt t\}|=|\{f\gt t\}|$。したがって $(f^H)^*=f^*$、$\|f^H\|_2=\|f\|_2$。
2. $\|f^H-g^H\|_2\le\|f-g\|_2$。さらに、$H$ の正測度の部分集合の上で $(f(x)-f(\sigma x))(g(x)-g(\sigma x))\lt0$ なら、不等号は真に成り立つ。
3. $(f^*)^H=f^*$。
4. $K(x)=k(|x|)$（$k\ge0$ は非増加）が可積分なら、$\langle f^H,K*f^H\rangle\ge\langle f,K*f\rangle$。
5. $f$ が連続で台が閉球 $\bar B_R=\{|x|\le R\}$ に含まれ、非減少関数 $\omega$ について $|f(x)-f(y)|\le\omega(|x-y|)$ を満たすなら、$f^H$ も連続で、台は $\bar B_R$ に含まれ、同じ評価を満たし、$\sup f^H=\sup f$。

証明（補題 6.4）

実数の不等式. 実数 $a,b,c,d$ について $a'=\max(a,b)$、$b'=\min(a,b)$、$c'=\max(c,d)$、$d'=\min(c,d)$ とおくと

$$a'c'+b'd'-(ac+bd)=\begin{cases}0&((a-b)(c-d)\ge0)\\-(a-b)(c-d)\gt0&((a-b)(c-d)\lt0)\end{cases}$$

です（後者の場合は、たとえば $a\ge b$、$c\lt d$ で $a'c'+b'd'=ad+bc$）。$a'^2+b'^2=a^2+b^2$、$c'^2+d'^2=c^2+d^2$ なので、$(a'-c')^2+(b'-d')^2\le(a-c)^2+(b-d)^2$ で、等号は $(a-b)(c-d)\ge0$ のときに限ります。

1. 変数変換 $x\mapsto\sigma x$ で $\mathbb{R}^n\setminus\bar H$ の積分を $H$ に移すと（$\partial H$ は零集合）、Borel 関数 $\varphi\ge0$ について $\int\varphi(f^H)=\int_H\bigl(\varphi(f^H(x))+\varphi(f^H(\sigma x))\bigr)dx=\int_H\bigl(\varphi(f(x))+\varphi(f(\sigma x))\bigr)dx=\int\varphi(f)$。$\varphi=\mathbf 1_{(t,\infty)}$ とすれば最初の主張、$\varphi(s)=s^2$ とすれば最後の主張です。$(f^H)^*=f^*$ は 補題 6.2 の 4 です。

2. 同じ変数変換で $\|f^H-g^H\|_2^2=\int_H\bigl(|f^H(x)-g^H(x)|^2+|f^H(\sigma x)-g^H(\sigma x)|^2\bigr)dx$ で、各 $x\in H$ に実数の不等式を $a=f(x)$、$b=f(\sigma x)$、$c=g(x)$、$d=g(\sigma x)$ で使います。

3. $f^*$ は $|x|$ について非増加で、$x\in H$ なら $|x|\lt|\sigma x|$ なので $f^*(x)\ge f^*(\sigma x)$。よって分極しても値は変わりません。

4. $K(x-y)=K(\sigma x-\sigma y)$、$K(\sigma x-y)=K(x-\sigma y)$ なので、両変数を $H$ に移すと

$$\langle f,K*f\rangle=\int_H\!\!\int_H\Bigl(A\bigl(f(x)f(y)+f(\sigma x)f(\sigma y)\bigr)+B\bigl(f(x)f(\sigma y)+f(\sigma x)f(y)\bigr)\Bigr)dx\,dy,$$

$A=K(x-y)$、$B=K(x-\sigma y)$ です（積分は $\langle f,K*f\rangle\le\|K\|_1\|f\|_2^2$ で絶対収束）。$x,y\in H$ では $|x-\sigma y|\ge|x-y|$ なので $A\ge B\ge0$。$a=f(x)$、$b=f(\sigma x)$、$c=f(y)$、$d=f(\sigma y)$ とおくと、被積分関数は $(A-B)(ac+bd)+B(a+b)(c+d)$ で、$f^H$ では $a,b$ と $c,d$ がそれぞれ $a',b'$ と $c',d'$ に替わります。$a'+b'=a+b$、$c'+d'=c+d$ と実数の不等式 $a'c'+b'd'\ge ac+bd$ から、被積分関数は増えます。

5. $\max$ と $\min$ はそれぞれの変数について 1-Lipschitz です。$x,y$ がともに $\bar H$ にある、またはともに $\mathbb{R}^n\setminus H$ にあるときは、$|x-y|=|\sigma x-\sigma y|$ から $|f^H(x)-f^H(y)|\le\omega(|x-y|)$。$x\in H$、$y\notin\bar H$ のときは、$\sigma y\in H$ で $|x-\sigma y|\le|x-y|$、$|\sigma x-y|=|x-\sigma y|$ なので、$f(x),f(\sigma x)$ と $f(y),f(\sigma y)$ の 4 通りの差はどれも $\omega(|x-y|)$ 以下で、$|\max(a,b)-\min(c,d)|$ も同じ評価を満たします。とくに $f^H$ は連続です（$\partial H$ 上で 2 つの定義は一致する）。台: $x\in H$ で $f^H(x)\ne0$ なら $|x|\le R$ または $|\sigma x|\le R$ で、$|x|\lt|\sigma x|$ から $|x|\le R$。$x\notin H$ で $f^H(x)\ne0$ なら $f(x)\gt0$ なので $|x|\le R$。値の集合は並べ替えなので $\sup$ も同じです。

∎

補題 6.5（反復分極による近似）✓

$f\ge0$ を台がコンパクトな連続関数とする。$f$ の反復分極の列 $p_k$ で、$\|p_k-f^*\|_2\to0$ となるものが存在する。

証明（補題 6.5）

台が $B_{R'}$ に含まれるとし、$R\gt R'$ を取ります。$\omega(\delta)=\sup_{|x-y|\le\delta}|f(x)-f(y)|$ は非減少で、一様連続性から $\delta\to0$ で $0$ に近づきます。$\mathcal{P}$ を $f$ の反復分極の全体とすると、補題 6.4 の 5 から、$\mathcal{P}$ の元はすべて台が $\bar B_{R'}$ に含まれ、$\sup f$ で一様有界で、同じ $\omega$ について同程度連続です。Arzelà–Ascoli の定理（定理 3.3［Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass］）から、$\mathcal{P}$ の $C(\bar B_R)$ での閉包 $\mathcal{K}$ はコンパクトです。$\mathcal{K}$ の元は台が $\bar B_{R'}$ に含まれる連続関数で、$\mathbb{R}^n$ 全体に $0$ で延ばして考えます。

$\Phi(g)=\|g-f^*\|_2$ は一様ノルムについて連続（$\|\cdot\|_{L^2(B_R)}\le|B_R|^{1/2}\|\cdot\|_\infty$）なので、$\mathcal{K}$ 上で最小値を取ります。最小値を与える $g\in\mathcal{K}$ について $g=f^*$（ほとんど至るところ）を示せば、$\mathcal{P}$ の元の列で $g$ に一様収束するものが求める $p_k$ です。

$g=\lim p_j$（一様収束、$p_j\in\mathcal{P}$）とします。(i) 補題 6.2 の 3 と 補題 6.4 の 1 から $\|g^*-f^*\|_2=\lim\|g^*-p_j^*\|_2\le\lim\|g-p_j\|_2=0$。(ii) 原点を含む開半空間 $H$ について、$\max$・$\min$ の 1-Lipschitz 性から $\|p_j^H-g^H\|_\infty\le\|p_j-g\|_\infty$ なので $g^H\in\mathcal{K}$。(iii) 補題 6.4 の 2・3 から $\Phi(g^H)=\|g^H-(f^*)^H\|_2\le\Phi(g)$。

$g\ne f^*$ と仮定して矛盾を導きます。$g(x)=\int_0^\infty\mathbf 1_{\{g\gt t\}}(x)dt$ と Tonelli の定理から、ある $t\gt0$ で $U=\{g\gt t\}$ と $B=\{f^*\gt t\}$ の対称差の測度が正です。(i) から $|U|=|\{g^*\gt t\}|=|B|$ で、$B$ は半径 $r$ の原点中心の開球（補題 6.2 の 1）、$U$ は開集合（$g$ は連続）です。$|U\setminus B|=|B\setminus U|\gt0$ で、球面は零集合なので $U\setminus\bar B$ は空でない開集合です。$y\in U\setminus\bar B$ と $\varepsilon\gt0$ を、$B(y,\varepsilon)\subset U\setminus\bar B$ かつ $2\varepsilon\le|y|-r$ となるように取ります。$E=B\setminus U$ は正測度なので、有理点を中心とする半径 $\varepsilon/2$ の可算個の球のどれかと正測度で交わり、その交わりの点 $x_0$ を取れば $|E\cap B(x_0,\varepsilon)|\gt0$ です。

$H=\{z:|z-x_0|\lt|z-y|\}$ とすると、$\sigma_H$ は $x_0$ と $y$ を入れ替える鏡映で、$|x_0|\lt r\lt|y|$ から $0\in H$、$|x_0-y|\ge|y|-|x_0|\gt2\varepsilon$ から $B(x_0,\varepsilon)\subset H$、$\sigma_H(B(x_0,\varepsilon))=B(y,\varepsilon)$ です。$F=E\cap B(x_0,\varepsilon)$ の点 $x$ では $g(x)\le t\lt g(\sigma x)$、$f^*(x)\gt t\ge f^*(\sigma x)$（$\sigma x\notin B$）なので、$(g(x)-g(\sigma x))(f^*(x)-f^*(\sigma x))\lt0$ です。補題 6.4 の 2 の後半と 3 から $\Phi(g^H)\lt\Phi(g)$ となり、(ii) の $g^H\in\mathcal{K}$ と最小性に矛盾します。

∎

6.3. Pólya–Szegő の不等式

$t\gt0$ について $G_t(x)=(4\pi t)^{-n/2}e^{-|x|^2/(4t)}$ とおきます。$G_t\ge0$、$\int G_t=1$ で、$|x|$ について減少し、Fourier 変換は $\widehat{G_t}(\xi)=e^{-t|\xi|^2}$ です（命題 3.1［ℝⁿ 上のフーリエ変換］ で $\varepsilon^2=2t$）。

次の補題は、勾配のノルムを「関数が熱核でどれだけ平らにならされるか」で表すためのものです。熱核 $G_t$ との畳み込みは、時間 $t$ だけ熱を拡散させる操作にあたり、$u$ が速く振動しているほど $\langle u,G_t*u\rangle$ は $\|u\|_2^2$ より小さくなります。この差が $\|\nabla u\|_2^2$ に比例して現れるので、勾配の大きさを、再配置で扱いやすい畳み込みの積分だけで測れます。

補題 6.6（熱核による勾配の特徴づけ）✓

$u\in L^2(\mathbb{R}^n)$ について $E_t(u)=\frac1t\bigl(\|u\|_2^2-\langle u,G_t*u\rangle\bigr)$ とおく。$E_t(u)$ は $t\downarrow0$ で単調非減少で、その極限が有限であることと $u\in H^1(\mathbb{R}^n)$ は同値であり、そのとき $\lim_{t\downarrow0}E_t(u)=\|\nabla u\|_2^2$ である。

証明（補題 6.6）

$u\in L^1\cap L^2$ なら $\widehat{G_t*u}=\widehat{G_t}\,\hat u$（命題 2.2［ℝⁿ 上のフーリエ変換］ の 2）で、Plancherel の定理（定理 4.1［ℝⁿ 上のフーリエ変換］）から

$$E_t(u)=(2\pi)^{-n}\int\frac{1-e^{-t|\xi|^2}}{t}|\hat u(\xi)|^2d\xi .$$

両辺は $u$ について $L^2$ で連続なので（左辺は Young の不等式 定理 5.1［ℝⁿ 上のフーリエ変換］ で $\|G_t*u\|_2\le\|u\|_2$、右辺は Plancherel の定理のユニタリ性による）、この式はすべての $u\in L^2$ で成り立ちます。$s\ge0$ について $t\mapsto(1-e^{-ts})/t=s\cdot\frac{1-e^{-ts}}{ts}$ は $t\downarrow0$ で単調非減少に $s$ に近づくので（$a\mapsto(1-e^{-a})/a$ は非増加で、$a\to0$ で $1$）、単調収束定理から $\lim E_t(u)=(2\pi)^{-n}\int|\xi|^2|\hat u|^2d\xi$ です。定義 3.1［Sobolev 空間］ と 命題 3.2［Sobolev 空間］ により、$u\in H^1$ はこの積分が有限であることと同値で、$\|u\|_{H^1}^2=(2\pi)^{-n}\int(1+|\xi|^2)|\hat u|^2=\|u\|_2^2+\|\nabla u\|_2^2$ と $\|u\|_2^2=(2\pi)^{-n}\int|\hat u|^2$ から、極限は $\|\nabla u\|_2^2$ です。

∎

定理 6.7（Pólya–Szegő の不等式）✓

$u\in H^1(\mathbb{R}^n)$ とする。

1. $|u|\in H^1(\mathbb{R}^n)$ で $\|\nabla|u|\|_2\le\|\nabla u\|_2$。
2. $u\ge0$ なら $u^*\in H^1(\mathbb{R}^n)$ で $\|\nabla u^*\|_2\le\|\nabla u\|_2$。

証明（定理 6.7）

補題 6.6 により、どちらも「すべての $t\gt0$ で $E_t(v)\le E_t(u)$」（$v=|u|$ または $u^*$）を示せば十分です。$\|v\|_2=\|u\|_2$（2 では 補題 6.2 の 2）なので、示すべきは $\langle v,G_t*v\rangle\ge\langle u,G_t*u\rangle$ です。

1. $G_t\ge0$ なので $\langle u,G_t*u\rangle=\iint\overline{u(x)}u(y)G_t(x-y)\,dx\,dy\le\iint|u(x)||u(y)|G_t(x-y)\,dx\,dy=\langle|u|,G_t*|u|\rangle$（左辺は $E_t$ の表示から実数）。

2. まず $f\ge0$ が台のコンパクトな連続関数の場合に $\langle f^*,G_t*f^*\rangle\ge\langle f,G_t*f\rangle$ を示します。補題 6.5 の反復分極 $p_k$ について、補題 6.4 の 4 を繰り返し使うと $\langle p_k,G_t*p_k\rangle\ge\langle f,G_t*f\rangle$。$q\mapsto\langle q,G_t*q\rangle$ は $L^2$ で連続（$\|G_t*q\|_2\le\|q\|_2$）なので、$p_k\to f^*$ として主張を得ます。一般の $u\ge0$ では、$C_c$ の $L^2$ での稠密性（命題 7.2［L^p 空間と関数解析への導入］）から $f_m\in C_c$ を $f_m\to u$ と取り、正の部分に替えても（$|(f_m)_+-u|\le|f_m-u|$）収束するので $f_m\ge0$ としてよく、補題 6.2 の 3 から $f_m^*\to u^*$ です。両辺の連続性から $\langle u^*,G_t*u^*\rangle\ge\langle u,G_t*u\rangle$ です。

∎

6.4. Faber–Krahn の不等式

補題 6.8（球の外で消える H¹ 関数）✓

$B\subset\mathbb{R}^n$ を開球、$w\in H^1(\mathbb{R}^n)$ が $B$ の外でほとんど至るところ $0$ とする。このとき $w|_B\in H^1_0(B)$ で、$\int_B|\nabla(w|_B)|^2=\int_{\mathbb{R}^n}|\nabla w|^2$ である。

証明（補題 6.8）

平行移動して $B$ の中心を原点、半径を $\rho$ とします。$0\lt s\lt1$ について $w_s(x)=w(x/s)$ は $H^1(\mathbb{R}^n)$ に属し $\nabla w_s(x)=s^{-1}(\nabla w)(x/s)$、台は $\bar B_{s\rho}$ に含まれます。補題 2.1［楕円型正則性と最大値原理］ から $w_s|_B\in H^1_0(B)$ です。$g\in L^2$ について $\|g(\cdot/s)-g\|_2\to0$（$s\to1$）です。実際 $g$ が台のコンパクトな連続関数なら、台は一定のコンパクト集合に収まり一様収束するので成り立ち、一般には $\|g(\cdot/s)-\varphi(\cdot/s)\|_2=s^{n/2}\|g-\varphi\|_2$ と 命題 7.2［L^p 空間と関数解析への導入］ で近似できます。$g=w$ と $g=\partial_iw$ に使うと $w_s\to w$（$H^1(\mathbb{R}^n)$）です。$H^1_0(B)$ の元を $0$ で延ばすと $H^1$ ノルムが保たれ（§3.1）、像は $H^1(\mathbb{R}^n)$ の閉部分空間なので、極限 $w$ もその像に属します。すなわち $w$ はある $v\in H^1_0(B)$ の $0$ による延長で、$v=w|_B$、$\nabla w$ は $\nabla v$ を $0$ で延ばしたものです。

∎

定理 6.9（Faber–Krahn の不等式）✓

$\Omega\subset\mathbb{R}^n$ を有界な開集合、$\Omega^*$ を $|\Omega^*|=|\Omega|$ を満たす球とすると、$\lambda_1(\Omega)\ge\lambda_1(\Omega^*)$ が成り立つ。

証明（定理 6.9）

第 1 固有値と Rayleigh 商. 有界な開集合 $D$ と $u\in H^1_0(D)$、$u\ne0$ について、$\lambda=q_D(u)/\|u\|^2$ とおくと 1 次元空間 $\mathbb{C}u$ は 補題 2.2 の条件を満たすので $N_D(\lambda)\ge1$、すなわち $\lambda_1(D)\le q_D(u)/\|u\|^2$ です（定理 4.1 から固有値は $\lambda_1\le\lambda_2\le\cdots$ と並ぶ）。等号は第 1 固有関数で成り立ちます。$\lambda_1$ は平行移動で変わらないので、$\Omega^*$ は原点中心としてよいとします。

再配置. $u\in H^1_0(\Omega)$ を第 1 固有関数、$\tilde u$ をその $0$ による延長とします。§3.1 の注意から $\tilde u\in H^1(\mathbb{R}^n)$、$\|\nabla\tilde u\|_2^2=q_\Omega(u)=\lambda_1(\Omega)\|u\|^2$ です。定理 6.7 の 1 から $v=|\tilde u|\in H^1$、$\|\nabla v\|_2\le\|\nabla\tilde u\|_2$、同じく 2 から $v^*\in H^1$、$\|\nabla v^*\|_2\le\|\nabla v\|_2$ です。$\|v^*\|_2=\|v\|_2=\|u\|$（補題 6.2 の 2）で、$v$ は $\Omega$ の外で $0$ なので $v^*$ は $\Omega^*$ の外で $0$ です（同 4）。補題 6.8 から $w=v^*|_{\Omega^*}\in H^1_0(\Omega^*)$、$q_{\Omega^*}(w)=\|\nabla v^*\|_2^2$ で、

$$\lambda_1(\Omega^*)\le\frac{q_{\Omega^*}(w)}{\|w\|^2}=\frac{\|\nabla v^*\|_2^2}{\|v^*\|_2^2}\le\frac{\|\nabla\tilde u\|_2^2}{\|u\|^2}=\lambda_1(\Omega)$$

です。

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注意 6.10（証明の出典と等号の場合）

分極による Pólya–Szegő の不等式の証明は Brock–Solynin（“An approach to symmetrization via polarization”, Transactions of the AMS 352 (2000)）と Baernstein の方法に、熱核による勾配の特徴づけは Lieb–Loss『Analysis』第 7 章の考え方によります。古典的な証明は等周不等式と余面積公式を使います（A. Henrot, Extremum Problems for Eigenvalues of Elliptic Operators, Chapter 3）。等号は $\Omega$ が球の場合（容量 $0$ の集合の差を除いて）に限ることも知られていますが、その証明には $\|\nabla u^*\|=\|\nabla u\|$ となる場合の分析（Brothers–Ziemer）が必要で、本章では扱いません（主張のみ）。

例 6.11（正方形と円板の比較）

面積 $1$ の正方形 $(0,1)^2$ では、補題 3.3 の $s_{(1,1)}$ が固有関数で、$\lambda_1=2\pi^2\approx19.74$ です（演習 7.2）。面積 $1$ の円板（半径 $R=1/\sqrt\pi$）の第 1 固有値は $j_{0,1}^2/R^2=\pi j_{0,1}^2\approx18.17$ です。ここで $j_{0,1}\approx2.405$ は Bessel 関数 $J_0$ の最初の零点で、円板の固有関数は変数分離で $J_0(\sqrt\lambda\,r)$ と求まります。円板の方が小さく、Faber–Krahn の不等式と整合します。

7. 演習

演習 7.1易

$n=1$、$\Omega=(0,L)$ とする。$N_\Omega(\lambda)=\lfloor L\sqrt\lambda/\pi\rfloor$ であることを 定理 4.1 を使わずに示し、定理 5.2 の定数（$\omega_1=2$）と比べよ。

解答

補題 3.2 から $\{s_m\}$ は $L^2(0,L)$ の正規直交基底で（$a=L$）、補題 3.3 から $s_m\in H^1_0$、$q(s_m)=(m\pi/L)^2$ です。$u\in H^1_0(0,L)$ を $u=\sum b_ms_m$ と展開します。$u\in C_c^\infty(0,L)$ なら部分積分で $\langle u',c_m\rangle=-\langle u,c_m'\rangle=\frac{m\pi}L b_m$（$m\ge1$）、$\langle u',c_0\rangle=0$ で、両辺は $H^1$ ノルムについて連続なので $H^1_0$ でも成り立ちます。$\{c_m\}$ についての Parseval の等式から $q(u)=\|u'\|^2=\sum_m(m\pi/L)^2|b_m|^2$ です。$M=\lfloor L\sqrt\lambda/\pi\rfloor$ とおくと、$s_1,\ldots,s_M$ の張る空間では $q\le\lambda\|\cdot\|^2$ で、$\dim F\gt M$ の部分空間には $s_1,\ldots,s_M$ と直交する $u\ne0$ があって $q(u)\gt\lambda\|u\|^2$ です。補題 2.2 から $N(\lambda)=M$ です。Weyl の定数は $\frac{\omega_1L}{2\pi}=\frac L\pi$ で、$N(\lambda)/\sqrt\lambda\to L/\pi$ と一致します。

演習 7.2標準

$\Omega$ が辺の長さ $a$ の立方体 $Q$ に含まれるなら、$u\in H^1_0(\Omega)$ について $\int_\Omega|\nabla u|^2\ge\frac{n\pi^2}{a^2}\int_\Omega u^2$、すなわち $\lambda_1(\Omega)\ge n\pi^2/a^2$ であることを示せ。また $\Omega=Q$ では等号が $s_{(1,\ldots,1)}$ で達成されることを確かめよ。

解答

系 3.1 により $\Omega=Q$ で示せば十分で、密度から $u\in C_c^\infty(Q)$ としてよい。$\tilde s^{(i)}_k=c_{k_i}(x_i)\prod_{j\ne i}s_{k_j}(x_j)$（$k\in\mathbb{N}^n$）は正規直交系で、今度は $u$ が $Q$ の境界の近くで $0$ なので部分積分の境界項が出ず、$\langle\partial_iu,\tilde s^{(i)}_k\rangle=-\langle u,\partial_i\tilde s^{(i)}_k\rangle=\frac{k_i\pi}a\langle u,s_k\rangle$ です。Bessel の不等式と 補題 3.2 の Parseval の等式から

$$\int_Q|\nabla u|^2\ge\sum_{k\in\mathbb{N}^n}\mu_k|\langle u,s_k\rangle|^2\ge\frac{n\pi^2}{a^2}\sum_k|\langle u,s_k\rangle|^2=\frac{n\pi^2}{a^2}\|u\|^2$$

です（$k\in\mathbb{N}^n$ なら $|k|^2\ge n$）。等号は 補題 3.3 で $u=s_{(1,\ldots,1)}$ とすれば $q(u)=\mu_{(1,\ldots,1)}=n\pi^2/a^2$ です。これは第 4 章の Poincaré の不等式の最良定数版です。

演習 7.3標準

$\Omega=(0,\pi)^2$ について、定理 5.2 から $\lambda_k\sim4k/\pi$ を導け。また固有値が $\{k_1^2+k_2^2\mid k_1,k_2\ge1\}$（重複度は表し方の個数）であることを前提に、$\lambda\le25$ の固有値の個数を数え、Weyl の主要項 $\pi\lambda/4$ と比べよ。

解答

$\omega_2=\pi$、$|\Omega|=\pi^2$ なので $4\pi^2(k/\pi^3)^{2/2}=4k/\pi$ です。$k_1^2+k_2^2\le25$（$k_i\ge1$）を数えると、$k_1=1$ で $k_2=1,\ldots,4$（4 個）、$k_1=2$ で $1,\ldots,4$（4 個）、$k_1=3$ で $1,\ldots,4$（4 個）、$k_1=4$ で $1,2,3$（3 個）で、計 $15$ 個です。主要項は $\pi\cdot25/4\approx19.6$ で、差の約 $4.6$ は Ivrii の第 2 項 $\frac14\cdot\frac{\omega_1}{2\pi}|\partial\Omega|\sqrt\lambda=\frac14\cdot\frac2{2\pi}\cdot4\pi\cdot5=5$ とほぼ一致します（注意 5.3）。

参考文献

• H. Weyl, “Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer partieller Differentialgleichungen”, Mathematische Annalen 71 (1912), 441–479.
• R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, Vol. I, Interscience, 1953 — Chapter VI（変分原理と固有値の漸近分布）。
• M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics IV: Analysis of Operators, Academic Press, 1978 — Chapter XIII（Dirichlet–Neumann bracketing と Weyl の公式）。
• A. Henrot, Extremum Problems for Eigenvalues of Elliptic Operators, Birkhäuser, 2006 — Chapter 3（Faber–Krahn の不等式）。
• V. Ivrii, “100 years of Weyl’s law”, Bulletin of Mathematical Sciences 6 (2016), 379–452. arXiv:1608.03963