数学 › 偏微分方程式 › Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則

Dirichlet–Neumann bracketing

定理 4.1（「Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則」§4） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 98 件、定義なども含めて 113 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 立方体の Dirichlet 試験関数✓補題 3.3・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則

  • 局所的な軟化✓補題 2.1・楕円型正則性と最大値原理

    • 弱微分と $W^{k,p}$定義 2.1・Sobolev 空間
    • 軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数

      • $C_c(\mathbb{R})$ の $L^1$ での稠密性と平行移動の連続性✓補題 5.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
      • $C_c$ は $L^p$ で稠密✓命題 7.2・L^p 空間と関数解析への導入 この先をたどる →
      • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
      • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入 この先をたどる →
      • Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
• 変分原理（計数関数版）✓補題 2.2・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則
• 正弦・余弦の基底✓補題 3.2・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則

  • Parseval の等式✓定理 5.1・フーリエ級数

    • Fejér の定理の帰結✓系 4.3・フーリエ級数

      • Fejér の定理✓定理 4.2・フーリエ級数 この先をたどる →
    • 正規直交基底の特徴づけ（パーセバルの等式）✓定理 6.4・Hilbert 空間の基礎

      • 二重直交補空間と稠密性の判定✓系 3.7・Hilbert 空間の基礎 この先をたどる →
      • ベッセルの不等式✓定理 6.2・Hilbert 空間の基礎
      • 命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎
• 立方体の Neumann 型の下からの評価✓補題 3.4・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則

  • ベッセルの不等式✓定理 6.2・Hilbert 空間の基礎
  • 滑らかな関数による近似✓定理 2.4・Sobolev 空間

    • 滑らかな山型関数と軟化子✓補題 2.1・Schwartz 空間と緩増加超関数
    • 軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数（上で展開済み）
• Poincaré の不等式✓補題 2.1・楕円型方程式の弱解と変分法

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

• Weyl の漸近公式✓定理 5.2・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則
• Faber–Krahn の不等式✓定理 6.9・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則

関連するノック 3 問

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