数学 › 偏微分方程式 › Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則

Faber–Krahn の不等式

定理 6.9（「Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則」§6） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 154 件、定義なども含めて 177 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 変分原理（計数関数版）✓補題 2.2・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則
• Dirichlet–Neumann bracketing✓定理 4.1・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則

  • 立方体の Dirichlet 試験関数✓補題 3.3・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則

    • 局所的な軟化✓補題 2.1・楕円型正則性と最大値原理（上で展開済み）
  • 変分原理（計数関数版）✓補題 2.2・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則
  • 正弦・余弦の基底✓補題 3.2・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則

    • Parseval の等式✓定理 5.1・フーリエ級数

      • Fejér の定理の帰結✓系 4.3・フーリエ級数 この先をたどる →
      • 正規直交基底の特徴づけ（パーセバルの等式）✓定理 6.4・Hilbert 空間の基礎 この先をたどる →
  • 立方体の Neumann 型の下からの評価✓補題 3.4・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則

    • ベッセルの不等式✓定理 6.2・Hilbert 空間の基礎
    • 滑らかな関数による近似✓定理 2.4・Sobolev 空間

      • 滑らかな山型関数と軟化子✓補題 2.1・Schwartz 空間と緩増加超関数
      • 軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数 この先をたどる →
  • Poincaré の不等式✓補題 2.1・楕円型方程式の弱解と変分法
• Pólya–Szegő の不等式✓定理 6.7・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則

  • 熱核による勾配の特徴づけ✓補題 6.6・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則

    • L¹ での基本性質✓命題 2.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換

      • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
      • Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
      • 回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
      • 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • Plancherel の定理✓定理 4.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換 この先をたどる →
    • Young の不等式✓定理 5.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換

      • ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入 この先をたどる →
      • Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
    • Sobolev 空間 Hˢ(ℝⁿ)定義 3.1・Sobolev 空間
    • $Hᵏ = W^{k,2}$✓命題 3.2・Sobolev 空間 この先をたどる →
  • 再配置の基本性質✓補題 6.2・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則
  • 反復分極による近似✓補題 6.5・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則

    • 分極の性質✓補題 6.4・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則（上で展開済み）
    • Arzelà–Ascoli の定理✓定理 3.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
    • 再配置の基本性質✓補題 6.2・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則
  • 分極の性質✓補題 6.4・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則

    • 再配置の基本性質✓補題 6.2・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則
  • $C_c$ は $L^p$ で稠密✓命題 7.2・L^p 空間と関数解析への導入

    • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • $ℝ^d$ のルベーグ測度は Radon でボレル正則✓命題 5.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理 この先をたどる →
    • Radon 測度定義 3.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    • σ-有限な集合での内正則性✓命題 5.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    • Urysohn の補題（台がコンパクトな版）✓定理 4.1・局所コンパクト空間 この先をたどる →
    • ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入 この先をたどる →
• 再配置の基本性質✓補題 6.2・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則
• 球の外で消える H¹ 関数✓補題 6.8・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則

  • 局所的な軟化✓補題 2.1・楕円型正則性と最大値原理

    • 弱微分と $W^{k,p}$定義 2.1・Sobolev 空間
    • 軟化と稠密性✓補題 2.2・Schwartz 空間と緩増加超関数 この先をたどる →
  • $C_c$ は $L^p$ で稠密✓命題 7.2・L^p 空間と関数解析への導入（上で展開済み）

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

関連するノック 1 問

• 偏微分方程式 第 49 問