$Hᵏ = W^{k,2}$

命題 3.2（「Sobolev 空間」§3）・ ✓公理まで証明済み

$k\in\mathbb{N}_0$ について $H^k(\mathbb{R}^n)=W^{k,2}(\mathbb{R}^n)$ であり、

\sum_{|\alpha|\le k}\|\partial^\alpha u\|_2^2\le\|u\|_{H^k}^2\le k!\sum_{|\alpha|\le k}\|\partial^\alpha u\|_2^2

が成り立つ。とくに $\|u\|_{H^1}^2=\|u\|_2^2+\|\nabla u\|_2^2$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 117 件、定義なども含めて 138 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

超関数の演算定義 6.3・Schwartz 空間と緩増加超関数
𝒮 上の基本操作✓命題 3.5・Schwartz 空間と緩増加超関数
- 連続性の半ノルムによる判定✓補題 3.4・Schwartz 空間と緩増加超関数
- 動径関数の積分✓系 6.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - $ℝ^d$ の極座標分解✓定理 6.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標
    回転不変性と相似✓系 3.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
    直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    極座標側のボレル集合族✓補題 6.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
    測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
    Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
𝒮′ 上の Fourier 変換✓定理 6.4・Schwartz 空間と緩増加超関数
- 𝒮 上の Fourier 変換✓定理 4.2・Schwartz 空間と緩増加超関数
  - 微分と掛け算の交換✓補題 4.1・Schwartz 空間と緩増加超関数（上で展開済み）
  - 𝒮 上の基本操作✓命題 3.5・Schwartz 空間と緩増加超関数（上で展開済み）
  - 連続性の半ノルムによる判定✓補題 3.4・Schwartz 空間と緩増加超関数
  - 反転公式✓定理 3.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換
    Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
    Gauss 関数の Fourier 変換✓命題 3.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換この先をたどる →
    Gauss 核による近似✓補題 3.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換この先をたどる →
  - Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 微分と掛け算の交換✓補題 4.1・Schwartz 空間と緩増加超関数
  - 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 5 件

0 階の項をもつ Dirac 型作用素✓補題 3.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解
閉多様体上の Rellich の定理✓補題 8.9・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
Dirac 型作用素の楕円型理論✓定理 8.12・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
有界領域での Rellich の定理✓系 5.2・Sobolev 空間
熱核による勾配の特徴づけ✓補題 6.6・Dirichlet ラプラシアンの固有値と Weyl 則

Hk=Wk,2Hᵏ = W^{k,2}Hk=Wk,2

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

関連するノック 2 問

$Hᵏ = W^{k,2}$

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 5 件