𝒮′ 上の Fourier 変換

定理 6.4（「Schwartz 空間と緩増加超関数」§6）・ ✓公理まで証明済み

$\mathcal{F}:\mathcal{S}'\to\mathcal{S}'$ は線形全単射で、逆写像は $T\mapsto\check T$ である。 $\mathcal{F}$ と $\mathcal{F}^{-1}$ は弱 * 収束を保つ。さらに

\widehat{\partial^\alpha T}=(i\xi)^\alpha\hat T,\qquad\widehat{x^\alpha T}=(i\partial)^\alpha\hat T,\qquad\widehat{\tau_aT}=e^{-ia\cdot\xi}\hat T .

ここで $\tau_a$ は関数の平行移動 $u\mapsto u(\cdot-a)$ の拡張である（ $\int u(x-a)f(x)\,dx=\int u(y)f(y+a)\,dy$ による）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 116 件、定義なども含めて 136 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

𝒮 上の Fourier 変換✓定理 4.2・Schwartz 空間と緩増加超関数
- 微分と掛け算の交換✓補題 4.1・Schwartz 空間と緩増加超関数（上で展開済み）
- 𝒮 上の基本操作✓命題 3.5・Schwartz 空間と緩増加超関数
  - 連続性の半ノルムによる判定✓補題 3.4・Schwartz 空間と緩増加超関数
  - 動径関数の積分✓系 6.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
    $ℝ^d$ の極座標分解✓定理 6.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
- 連続性の半ノルムによる判定✓補題 3.4・Schwartz 空間と緩増加超関数
- 反転公式✓定理 3.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換
  - Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
  - Gauss 関数の Fourier 変換✓命題 3.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換
    L¹ での基本性質✓命題 2.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換この先をたどる →
    ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
  - Gauss 核による近似✓補題 3.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換
    平行移動の連続性✓補題 2.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換この先をたどる →
- Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
微分と掛け算の交換✓補題 4.1・Schwartz 空間と緩増加超関数
- 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
    ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 5 件

Hilbert 変換の基本性質✓定理 4.2・Paley–Wiener の定理・Hardy 空間・Hilbert 変換
Daubechies のウェーブレット✓定理 5.2・標本化定理とウェーブレット
$Hᵏ = W^{k,2}$ ✓命題 3.2・Sobolev 空間
Hˢ の連続関数への埋め込み✓定理 4.1・Sobolev 空間
場が真空から作る状態✓補題 7.1・Wightman 関数の解析性

𝒮′ 上の Fourier 変換

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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