数学 › フーリエ解析と超関数 › Paley–Wiener の定理・Hardy 空間・Hilbert 変換

Hilbert 変換の基本性質

定理 4.2（「Paley–Wiener の定理・Hardy 空間・Hilbert 変換」§4）・ ✓公理まで証明済み

$H$ は $L^2(\mathbb{R})$ 上のユニタリ作用素で、 $H^2=-1$ 、 $H^*=-H$ 。Riesz 射影は $P_+=\frac12(1+iH)$ 。
$f\in L^2$ について $Q_y*f\to Hf$ （ $L^2$ 、 $y\downarrow0$ ）。 $F(z)=(P_y*f)(x)+i(Q_y*f)(x)$ は $\mathbb{C}_+$ 上正則で、 $f$ が実数値なら $\mathrm{Re}\,F=P_y*f$ の調和共役が $Q_y*f$ である。
$f\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$ なら各点で $Hf(x)=\frac1\pi\lim_{\varepsilon\downarrow0}\int_{|t|\gt\varepsilon}\frac{f(x-t)}t\,dt$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 121 件、定義なども含めて 141 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

𝒮′ 上の Fourier 変換✓定理 6.4・Schwartz 空間と緩増加超関数
- 𝒮 上の Fourier 変換✓定理 4.2・Schwartz 空間と緩増加超関数
  - 微分と掛け算の交換✓補題 4.1・Schwartz 空間と緩増加超関数（上で展開済み）
  - 𝒮 上の基本操作✓命題 3.5・Schwartz 空間と緩増加超関数
    連続性の半ノルムによる判定✓補題 3.4・Schwartz 空間と緩増加超関数
    動径関数の積分✓系 6.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
  - 連続性の半ノルムによる判定✓補題 3.4・Schwartz 空間と緩増加超関数
  - 反転公式✓定理 3.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換（上で展開済み）
  - Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 微分と掛け算の交換✓補題 4.1・Schwartz 空間と緩増加超関数
  - 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
上半平面の Poisson 核✓命題 2.2・Paley–Wiener の定理・Hardy 空間・Hilbert 変換
- 反転公式✓定理 3.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換
  - Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理（上で展開済み）
  - Gauss 関数の Fourier 変換✓命題 3.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換
    L¹ での基本性質✓命題 2.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換この先をたどる →
    ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
  - Gauss 核による近似✓補題 3.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換
    平行移動の連続性✓補題 2.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換（上で展開済み）
- 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
    ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- Lᵖ での近似単位元✓補題 2.1・Paley–Wiener の定理・Hardy 空間・Hilbert 変換
  - 平行移動の連続性✓補題 2.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換
    $C_c$ は $L^p$ で稠密✓命題 7.2・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
- 近似単位元による近似✓定理 5.5・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - $C_c(\mathbb{R})$ の $L^1$ での稠密性と平行移動の連続性✓補題 5.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）

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Sokhotski–Plemelj の公式✓定理 5.1・Paley–Wiener の定理・Hardy 空間・Hilbert 変換

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