数学 › 微分幾何学 › Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

閉多様体上の Rellich の定理

補題 8.9（「Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素」§8） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 125 件、定義なども含めて 146 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• $Hᵏ = W^{k,2}$✓命題 3.2・Sobolev 空間

  • 超関数の演算定義 6.3・Schwartz 空間と緩増加超関数
  • 𝒮 上の基本操作✓命題 3.5・Schwartz 空間と緩増加超関数

    • 連続性の半ノルムによる判定✓補題 3.4・Schwartz 空間と緩増加超関数
    • 動径関数の積分✓系 6.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標

      • $ℝ^d$ の極座標分解✓定理 6.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標 この先をたどる →
  • 𝒮′ 上の Fourier 変換✓定理 6.4・Schwartz 空間と緩増加超関数

    • 𝒮 上の Fourier 変換✓定理 4.2・Schwartz 空間と緩増加超関数

      • 微分と掛け算の交換✓補題 4.1・Schwartz 空間と緩増加超関数（上で展開済み）
      • 𝒮 上の基本操作✓命題 3.5・Schwartz 空間と緩増加超関数（上で展開済み）
      • 連続性の半ノルムによる判定✓補題 3.4・Schwartz 空間と緩増加超関数
      • 反転公式✓定理 3.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換 この先をたどる →
      • Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
    • 微分と掛け算の交換✓補題 4.1・Schwartz 空間と緩増加超関数

      • 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
      • Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
• Rellich のコンパクト性定理✓定理 5.1・Sobolev 空間

  • Arzelà–Ascoli の定理✓定理 3.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass

    • C(K) の完備性✓補題 2.1・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass

      • 実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
    • 閉集合と点列、完備部分空間✓命題 2.3・距離空間
    • 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間

      • ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
    • コンパクト距離空間上の連続関数は一様連続✓補題 2.2・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass

      • 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間（上で展開済み）
      • ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

• 0 階の項をもつ Dirac 型作用素✓補題 3.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解
• Dirac 型作用素の楕円型理論✓定理 8.12・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素