Rellich のコンパクト性定理

定理 5.1（「Sobolev 空間」§5）・ ✓公理まで証明済み

$K\subset\mathbb{R}^n$ をコンパクト集合、 $0\le t\lt s$ とする。 $\operatorname{supp}u_j\subset K$ かつ $\sup_j\|u_j\|_{H^s}\lt\infty$ を満たす列 $(u_j)$ は、 $H^t$ で収束する部分列をもつ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 10 件、定義なども含めて 14 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Arzelà–Ascoli の定理✓定理 3.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
- C(K) の完備性✓補題 2.1・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
  - 実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列
    コーシー列の基本性質✓命題 7.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
    ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓定理 6.3・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
    コーシー列定義 7.1・実数の完備性とコーシー列
    部分列定義 6.1・実数の完備性とコーシー列
- 閉集合と点列、完備部分空間✓命題 2.3・距離空間
- 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間
  - ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
- コンパクト距離空間上の連続関数は一様連続✓補題 2.2・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
  - 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間（上で展開済み）
  - ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間

これを使っている定理証明で参照している 3 件

閉多様体上の Rellich の定理✓補題 8.9・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
有界領域での Rellich の定理✓系 5.2・Sobolev 空間
Fock 空間でのコンパクト性の判定✓補題 6.3・pull-through 公式と基底状態の一般論

Rellich のコンパクト性定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理証明で参照している 3 件