数学 › 解析学（実解析） › 距離空間

閉集合と点列、完備部分空間

命題 2.3（「距離空間」§2）・ ✓公理まで証明済み

$(X, d)$ を距離空間、 $A \subset X$ とする。

$A$ が閉集合であることは、「 $A$ の点列 $(a_n)$ が $x \in X$ に収束するならば $x \in A$ 」と同値である。
$X$ が完備で $A$ が閉集合ならば、 $A$ （制限した距離）も完備である。
$A$ が（制限した距離で）完備ならば、 $A$ は $X$ の閉集合である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理証明で参照している 6 件

完備体上の有限次元ノルム空間✓補題 2.3・局所体
完備化の存在と一意性✓定理 4.2・付値と完備化
$ℤ_p$ と $ℚ_p$ の基本性質✓定理 5.2・付値と完備化
Arzelà–Ascoli の定理✓定理 3.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
Baire のカテゴリー定理✓定理 5.1・距離空間
ピカール–リンデレーフの定理（初期値問題の局所解）✓定理 6.5・距離空間

関連するノック 3 問