数学 › 代数的整数論・類体論 › 付値と完備化

完備化の存在と一意性

定理 4.2（「付値と完備化」§4）・ ✓公理まで証明済み

任意の付値体 $(K, |\cdot|)$ は完備化 $(\widehat K, \iota)$ をもつ。
$(K', \iota')$ を別の完備化とすると、絶対値を保つ体の同型 $\varphi \colon \widehat K \to K'$ で $\varphi \circ \iota = \iota'$ となるものがただ 1 つある。
$|\cdot|$ が非 Archimedes 的なら $\widehat K$ の絶対値もそうであり、 $\{|x| : x \in \widehat K^{\times}\} = \{|x| : x \in K^{\times}\}$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 6 件、定義なども含めて 10 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列
- コーシー列の基本性質✓命題 7.2・実数の完備性とコーシー列
  - 数列の収束・有界性・単調性定義 2.2・実数の完備性とコーシー列
  - コーシー列定義 7.1・実数の完備性とコーシー列
- ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓定理 6.3・実数の完備性とコーシー列
  - 単調部分列の補題✓補題 6.2・実数の完備性とコーシー列
  - 完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
- コーシー列定義 7.1・実数の完備性とコーシー列
- 部分列定義 6.1・実数の完備性とコーシー列
閉集合と点列、完備部分空間✓命題 2.3・距離空間
非 Archimedes 性の判定✓命題 2.3・付値と完備化

これを使っている定理証明で参照している 4 件

大域体のテンソル積と局所成分✓定理 3.1・局所体
離散付値体の完備化と逆極限✓命題 4.3・付値と完備化
完備な Archimedes 的付値体は ℝ か ℂ✓定理 8.1・付値と完備化
代数体の素点の分類✓定理 8.3・付値と完備化