代数体の素点の分類

定理 8.3（「付値と完備化」§8）・ ✓公理まで証明済み

$K$ を代数体とし、 $r_1$ を実の埋め込みの個数、 $r_2$ を実でない埋め込みの共役対の個数とする。

$K$ の自明でない非 Archimedes 的な絶対値は、ただ 1 つの素イデアル $\mathfrak{p}$ について $|\cdot|_{\mathfrak{p}}$ に同値である。
$K$ の Archimedes 的な絶対値は、ある埋め込み $\sigma \colon K \to \mathbb{C}$ について $|\sigma(\cdot)|_\infty$ に同値である。埋め込み $\sigma, \sigma'$ が同値な絶対値を定めるのは $\sigma' = \sigma$ または $\sigma' = \bar\sigma$ のときに限る。したがって $K$ の素点は、有限素点（素イデアルと 1 対 1）と $r_1 + r_2$ 個の無限素点で尽くされる。素点 $v$ での完備化 $K_v$ は、実素点で $\mathbb{R}$ 、複素素点で $\mathbb{C}$ に同型である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 159 件、定義なども含めて 180 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

非 Archimedes 性の判定✓命題 2.3・付値と完備化
Dedekind 環の特徴づけ✓定理 5.1・離散付値環と Dedekind 環
- 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
  - 素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
  - ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
  - ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 局所化は環になる✓補題 3.3・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  - 局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 局所化と剰余の可換性✓命題 3.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 商体✓命題 3.5・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 可逆イデアルの特徴づけ✓定理 4.3・離散付値環と Dedekind 環
  - 分裂の同値条件✓命題 4.4・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
  - 射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
  - 局所環上の有限射影加群は自由✓定理 5.1・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
  - 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- 極大イデアルが単項な Noether 局所整域✓系 3.5・離散付値環と Dedekind 環
  - Krull の単項イデアル定理✓定理 4.2・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
  - 次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
  - DVR の特徴づけ✓定理 3.4・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環
  - 局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 正規性は局所的✓命題 3.2・整拡大この先をたどる →
- DVR の基本性質✓命題 3.2・離散付値環と Dedekind 環
  - 付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環（上で展開済み）
  - 付値と付値環の対応✓命題 2.3・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- Pic = Cl✓系 4.4・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
同値の判定✓命題 2.5・付値と完備化
完備な Archimedes 的付値体は ℝ か ℂ✓定理 8.1・付値と完備化
- 非 Archimedes 性の判定✓命題 2.3・付値と完備化
- Ostrowski の定理✓定理 3.1・付値と完備化
  - 非 Archimedes 性の判定✓命題 2.3・付値と完備化
- 完備化の存在と一意性✓定理 4.2・付値と完備化（上で展開済み）
- 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性この先をたどる →
- 代数学の基本定理✓定理 4.3・正則関数の強力な性質この先をたどる →
完備化の存在と一意性✓定理 4.2・付値と完備化
- 実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
- 閉集合と点列、完備部分空間✓命題 2.3・距離空間
- 非 Archimedes 性の判定✓命題 2.3・付値と完備化

これを使っている定理証明で参照している 2 件

大域体のテンソル積と局所成分✓定理 3.1・局所体
$ℚ_p$ の有限次拡大は代数体の完備化✓系 6.5・局所体

代数体の素点の分類

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

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