大域体のテンソル積と局所成分

定理 3.1（「局所体」§3）・ ✓公理まで証明済み

$L/K$ を代数体の $n$ 次拡大、 $v$ を $K$ の素点、 $K_v$ を完備化とする。 $L$ の素点 $w$ で、 $K$ への制限が $v$ になるもの（ $w \mid v$ と書く）は有限個である。

各 $w \mid v$ について、 $L$ の完備化 $L_w$ は $K_v$ の有限次拡大で、 $L_w = LK_v$ （ $L$ と $K_v$ が生成する部分体）である。
$x \otimes a \mapsto (xa)_w$ は $K_v$ 代数の同型

L \otimes_K K_v \xrightarrow{\ \sim\ } \prod_{w \mid v}L_w

を与える。特に $[L : K] = \sum_{w \mid v}[L_w : K_v]$ 。 3. $x \in L$ について $N_{L/K}(x) = \prod_{w \mid v}N_{L_w/K_v}(x)$ 、 $\mathrm{Tr}_{L/K}(x) = \sum_{w \mid v}\mathrm{Tr}_{L_w/K_v}(x)$ 。 4. $v$ が有限素点 $\mathfrak{p}$ のとき、 $w \mid v$ は $\mathfrak{p}$ の上の素イデアル $\mathfrak{P}$ と 1 対 1 に対応し、 $e(L_w/K_v) = e(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})$ 、 $f(L_w/K_v) = f(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})$ 、 $[L_w : K_v] = e(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})f(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})$ である。 5. $L/K$ が Galois 拡大で $v = \mathfrak{p}$ 、 $w = \mathfrak{P}$ が有限素点のとき、 $L_w/K_v$ は Galois 拡大で、分解群 $D(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})$ の元は $L_w$ の連続な自己同型にただ 1 通りに延び、これによって $D(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}) \cong \mathrm{Gal}(L_w/K_v)$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 219 件、定義なども含めて 245 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 12 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

代数体の素点の分類✓定理 8.3・付値と完備化
- 非 Archimedes 性の判定✓命題 2.3・付値と完備化
- Dedekind 環の特徴づけ✓定理 5.1・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 同値の判定✓命題 2.5・付値と完備化
- 完備な Archimedes 的付値体は ℝ か ℂ✓定理 8.1・付値と完備化この先をたどる →
- 完備化の存在と一意性✓定理 4.2・付値と完備化（上で展開済み）
完備離散付値体の拡大への絶対値の延長✓定理 2.4・局所体
- Dedekind 環の整閉包は Dedekind✓系 7.3・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 横たわり定理✓定理 4.4・整拡大この先をたどる →
- Dedekind 環の特徴づけ✓定理 5.1・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 完備体上の有限次元ノルム空間✓補題 2.3・局所体（上で展開済み）
- 同値の判定✓命題 2.5・付値と完備化
- 整拡大と極大イデアル✓系 4.2・整拡大この先をたどる →
- 分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大この先をたどる →
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大この先をたどる →
- 特性多項式と最小多項式✓補題 2.2・局所体
  - ケーリー・ハミルトンの定理✓系 7.3・加群と PID 上の構造定理この先をたどる →
  - アルティンの定理✓補題 7.7・ガロア理論への招待（上で展開済み）
代数学の基本定理✓定理 4.3・正則関数の強力な性質
- リューヴィルの定理✓定理 4.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
完備体上の有限次元ノルム空間✓補題 2.3・局所体
- 閉集合と点列、完備部分空間✓命題 2.3・距離空間
ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待
- 同型の延長の個数✓補題 7.5・ガロア理論への招待この先をたどる →
- アルティンの定理✓補題 7.7・ガロア理論への招待（上で展開済み）
- 次数の連鎖律✓命題 2.3・ガロア理論への招待
- 自己同型は根を置換する✓補題 3.2・ガロア理論への招待この先をたどる →
- 準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理この先をたどる →
無限体上の線形空間は真の部分空間の有限和集合でない✓補題 3.2・局所体
中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
完備化の存在と一意性✓定理 4.2・付値と完備化
- 実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
- 閉集合と点列、完備部分空間✓命題 2.3・距離空間
- 非 Archimedes 性の判定✓命題 2.3・付値と完備化
離散付値体の完備化と逆極限✓命題 4.3・付値と完備化
- 完備化の存在と一意性✓定理 4.2・付値と完備化（上で展開済み）
- DVR の基本性質✓命題 3.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
局所体での基本等式✓定理 2.6・局所体
- 非 Archimedes 的な完備体での級数✓補題 4.4・付値と完備化
- 完備離散付値体の拡大への絶対値の延長✓定理 2.4・局所体（上で展開済み）
アルティンの定理✓補題 7.7・ガロア理論への招待
- デデキントの補題（指標の一次独立性）✓補題 7.6・ガロア理論への招待
分解群の完全列✓定理 3.4・分解群・惰性群・Frobenius 元
- Galois 群は上にある素イデアルに推移的に作用する✓補題 3.1・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →
- 軌道・安定化群の公式✓定理 2.4・群の作用と Sylow の定理この先をたどる →
- 体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大この先をたどる →
- 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
- 有限体の拡大の自己同型群✓補題 3.3・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →
- 準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・群の準同型定理この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 4 件

アデール環の基本性質✓定理 4.2・アデールとイデール
ノルム写像の性質✓命題 8.2・アデールとイデール
立方剰余記号と相互法則△命題 8.7・類体論
$ℚ_p$ の有限次拡大は代数体の完備化✓系 6.5・局所体

大域体のテンソル積と局所成分

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 12 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 12 件）

これを使っている定理証明で参照している 4 件