数学 › 代数的整数論・類体論 › 局所体

特性多項式と最小多項式

補題 2.2（「局所体」§2）・ ✓公理まで証明済み

$L/K$ を体の $n$ 次拡大、 $x \in L$ 、 $g$ を $x$ の $K$ 上の最小多項式、 $d = \deg g$ とする。

$\chi_x = g^{n/d}$ 。特に $N_{L/K}(x) = \bigl((-1)^dg(0)\bigr)^{n/d}$ 。
$G$ が $L$ の自己同型からなる有限群で $K = L^G$ ならば、 $\chi_x = \prod_{\sigma \in G}(X - \sigma x)$ 、 $N_{L/K}(x) = \prod_\sigma\sigma x$ 、 $\mathrm{Tr}_{L/K}(x) = \sum_\sigma\sigma x$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 9 件、定義なども含めて 9 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ケーリー・ハミルトンの定理✓系 7.3・加群と PID 上の構造定理
- 有理標準形✓定理 7.2・加群と PID 上の構造定理
  - 整数環と多項式環は単項イデアル整域✓命題 7.2・イデアルと剰余環
  - PID 上の有限生成加群の構造定理（不変因子形）✓定理 5.1・加群と PID 上の構造定理
    自由加群の部分加群は自由✓定理 3.1・加群と PID 上の構造定理
    スミス標準形✓定理 4.1・加群と PID 上の構造定理
    加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
  - スミス標準形✓定理 4.1・加群と PID 上の構造定理
アルティンの定理✓補題 7.7・ガロア理論への招待
- デデキントの補題（指標の一次独立性）✓補題 7.6・ガロア理論への招待

これを使っている定理証明で参照している 2 件

完備離散付値体の拡大への絶対値の延長✓定理 2.4・局所体
不分岐拡大でのノルムとトレースの全射性✓定理 4.4・局所体