不分岐拡大でのノルムとトレースの全射性

定理 4.4（「局所体」§4）・ ✓公理まで証明済み

$K$ を局所体、 $L/K$ を $n$ 次の不分岐拡大とし、 $U_K^{(m)} := 1 + \mathfrak{m}_K^m$ （ $m \ge 1$ ）、 $U_K^{(0)} := \mathcal{O}_K^{\times}$ とおく（ $L$ についても同様）。

$\mathrm{Tr}_{L/K}(\mathcal{O}_L) = \mathcal{O}_K$ 。
$N_{L/K}(\mathcal{O}_L^{\times}) = \mathcal{O}_K^{\times}$ 、より詳しくすべての $m \ge 0$ で $N_{L/K}(U_L^{(m)}) = U_K^{(m)}$ 。
$N_{L/K}(L^{\times}) = \pi_K^{n\mathbb{Z}} \times \mathcal{O}_K^{\times}$ で、 $K^{\times}/N_{L/K}(L^{\times})$ は $\pi_K$ の類が生成する位数 $n$ の巡回群である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 173 件、定義なども含めて 192 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

不分岐拡大の分類✓定理 4.2・局所体
- 整閉整域上の最小多項式✓命題 5.3・整拡大
  - 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  - 分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  - イデアル上整な元の全体✓補題 5.2・整拡大
    整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大この先をたどる →
    行列式のトリック✓定理 3.3・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
    根基はイデアル✓補題 2.3・局所化と素イデアルのスペクトル
- Hensel の補題✓定理 6.1・付値と完備化
  - 非 Archimedes 的な完備体での級数✓補題 4.4・付値と完備化
  - 離散付値体の完備化と逆極限✓命題 4.3・付値と完備化
    完備化の存在と一意性✓定理 4.2・付値と完備化この先をたどる →
    DVR の基本性質✓命題 3.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - I 進完備化・完備局所環定義 3.2・完備化と Artin–Rees の補題
  - Hensel の補題✓定理 7.3・完備化と Artin–Rees の補題この先をたどる →
- 体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大
  - 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類この先をたどる →
- 完備離散付値体の拡大への絶対値の延長✓定理 2.4・局所体
  - Dedekind 環の整閉包は Dedekind✓系 7.3・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 横たわり定理✓定理 4.4・整拡大この先をたどる →
  - Dedekind 環の特徴づけ✓定理 5.1・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 完備体上の有限次元ノルム空間✓補題 2.3・局所体この先をたどる →
  - 同値の判定✓命題 2.5・付値と完備化
  - 整拡大と極大イデアル✓系 4.2・整拡大この先をたどる →
  - 分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  - 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  - 特性多項式と最小多項式✓補題 2.2・局所体（上で展開済み）
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 有限体の拡大の自己同型群✓補題 3.3・分解群・惰性群・Frobenius 元
  - フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
  - 体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  - 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- アルティンの定理✓補題 7.7・ガロア理論への招待
  - デデキントの補題（指標の一次独立性）✓補題 7.6・ガロア理論への招待
- 局所体の 1 の冪根と Teichmüller 代表✓補題 4.1・局所体
  - Hensel の補題✓定理 6.1・付値と完備化（上で展開済み）
- 分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大
  - PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 体からの環準同型は単射✓定理 7.5・環と体の基礎この先をたどる →
  - 同型の拡張✓補題 6.5・多項式環と体の拡大この先をたどる →
特性多項式と最小多項式✓補題 2.2・局所体
- ケーリー・ハミルトンの定理✓系 7.3・加群と PID 上の構造定理
  - 有理標準形✓定理 7.2・加群と PID 上の構造定理この先をたどる →
- アルティンの定理✓補題 7.7・ガロア理論への招待（上で展開済み）
局所体での基本等式✓定理 2.6・局所体
- 非 Archimedes 的な完備体での級数✓補題 4.4・付値と完備化
- 完備離散付値体の拡大への絶対値の延長✓定理 2.4・局所体（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 4 件

ノルム写像の性質✓命題 8.2・アデールとイデール
不分岐拡大の局所相互写像✓定理 3.2・類体論
第 1 不等式✓定理 6.3・類体論
巡回拡大のノルム指数と Hasse のノルム定理✓系 6.5・類体論

不分岐拡大でのノルムとトレースの全射性

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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関連するノック 1 問

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