不分岐拡大の分類

定理 4.2（「局所体」§4）・ ✓公理まで証明済み

$K$ を局所体、 $q = |\kappa_K|$ とする。

各 $n \ge 1$ について、 $X^{q^n-1} - 1$ の $K$ 上の最小分解体 $K_n$ は $K$ の $n$ 次不分岐拡大で、 $K_n = K(\zeta)$ （ $\zeta$ は 1 の原始 $(q^n - 1)$ 乗根）、 $\kappa_{K_n}$ は $q^n$ 個の元からなる。
$K_n/K$ は Galois 拡大で、還元 $\sigma \mapsto \bar\sigma$ は同型 $\mathrm{Gal}(K_n/K) \cong \mathrm{Aut}(\kappa_{K_n}/\kappa_K)$ を与える。したがって $\mathrm{Gal}(K_n/K)$ は位数 $n$ の巡回群で、すべての $x \in \mathcal{O}_{K_n}$ で $\varphi(x) \equiv x^q \pmod{\mathfrak{m}_{K_n}}$ を満たすただ 1 つの元 $\varphi$ （Frobenius 元）が生成する。1 の $(q^n - 1)$ 乗根 $\zeta$ について $\varphi(\zeta) = \zeta^q$ である。
$L/K$ を有限次拡大、 $f = f(L/K)$ とする。 $L_0 := K(\mu_{q^f-1}(L))$ は $K$ 上 $f$ 次の不分岐拡大で、 $L$ に含まれる $K$ の不分岐拡大はすべて $L_0$ に含まれる（ $L_0$ を $L/K$ の最大不分岐部分拡大という）。 $\kappa_{L_0} = \kappa_L$ である。
$K$ の $n$ 次不分岐拡大はすべて $K_n$ に $K$ 上同型である。 $m \mid n$ なら $K_n$ は $K_m$ に同型な部分体をただ 1 つ含む。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 171 件、定義なども含めて 190 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 9 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

整閉整域上の最小多項式✓命題 5.3・整拡大
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- イデアル上整な元の全体✓補題 5.2・整拡大
  - 整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大この先をたどる →
  - 行列式のトリック✓定理 3.3・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
  - 根基はイデアル✓補題 2.3・局所化と素イデアルのスペクトル
Hensel の補題✓定理 6.1・付値と完備化
- 非 Archimedes 的な完備体での級数✓補題 4.4・付値と完備化
- 離散付値体の完備化と逆極限✓命題 4.3・付値と完備化
  - 完備化の存在と一意性✓定理 4.2・付値と完備化この先をたどる →
  - DVR の基本性質✓命題 3.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- I 進完備化・完備局所環定義 3.2・完備化と Artin–Rees の補題
- Hensel の補題✓定理 7.3・完備化と Artin–Rees の補題
  - モニック多項式による割り算✓補題 7.2・完備化と Artin–Rees の補題
体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大
- 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類
  - 元の位数と巡回部分群の大きさ✓命題 4.2・部分群と剰余類
  - 生成される巡回部分群と元の位数定義 4.1・部分群と剰余類
  - ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類この先をたどる →
完備離散付値体の拡大への絶対値の延長✓定理 2.4・局所体
- Dedekind 環の整閉包は Dedekind✓系 7.3・離散付値環と Dedekind 環
  - Krull–秋月の定理✓定理 7.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 分母を払うと整になる✓命題 2.7・整拡大この先をたどる →
  - 整閉包は環・整性の推移性✓系 2.4・整拡大この先をたどる →
  - 整拡大と体✓命題 4.1・整拡大
- 横たわり定理✓定理 4.4・整拡大この先をたどる →
- Dedekind 環の特徴づけ✓定理 5.1・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 完備体上の有限次元ノルム空間✓補題 2.3・局所体この先をたどる →
- 同値の判定✓命題 2.5・付値と完備化
- 整拡大と極大イデアル✓系 4.2・整拡大この先をたどる →
- 分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 特性多項式と最小多項式✓補題 2.2・局所体この先をたどる →
代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大この先をたどる →
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
有限体の拡大の自己同型群✓補題 3.3・分解群・惰性群・Frobenius 元
- フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
- 体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
アルティンの定理✓補題 7.7・ガロア理論への招待
- デデキントの補題（指標の一次独立性）✓補題 7.6・ガロア理論への招待
局所体の 1 の冪根と Teichmüller 代表✓補題 4.1・局所体
- Hensel の補題✓定理 6.1・付値と完備化（上で展開済み）
分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大この先をたどる →
- 体からの環準同型は単射✓定理 7.5・環と体の基礎この先をたどる →
- 同型の拡張✓補題 6.5・多項式環と体の拡大この先をたどる →

不分岐拡大の分類

閉包の状態

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 9 件）

これを使っている定理証明で参照している 7 件

関連するノック 6 問

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