数学 › 代数的整数論・類体論 › 局所体

標数 0 の局所体の拡大の有限性

定理 6.4（「局所体」§6） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 195 件、定義なども含めて 217 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 不分岐拡大の上の完全分岐拡大✓系 5.3・局所体

  • 不分岐拡大の分類✓定理 4.2・局所体（上で展開済み）
  • 局所体での基本等式✓定理 2.6・局所体

    • 非 Archimedes 的な完備体での級数✓補題 4.4・付値と完備化
    • 完備離散付値体の拡大への絶対値の延長✓定理 2.4・局所体（上で展開済み）
  • 順完全分岐拡大の構造✓定理 5.2・局所体

    • Hensel の補題✓定理 6.1・付値と完備化（上で展開済み）
• 不分岐拡大の分類✓定理 4.2・局所体

  • 整閉整域上の最小多項式✓命題 5.3・整拡大

    • 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
    • 分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
    • イデアル上整な元の全体✓補題 5.2・整拡大 この先をたどる →
  • Hensel の補題✓定理 6.1・付値と完備化

    • 非 Archimedes 的な完備体での級数✓補題 4.4・付値と完備化
    • 離散付値体の完備化と逆極限✓命題 4.3・付値と完備化 この先をたどる →
    • I 進完備化・完備局所環定義 3.2・完備化と Artin–Rees の補題
    • Hensel の補題✓定理 7.3・完備化と Artin–Rees の補題 この先をたどる →
  • 体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大

    • 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類 この先をたどる →
  • 完備離散付値体の拡大への絶対値の延長✓定理 2.4・局所体

    • Dedekind 環の整閉包は Dedekind✓系 7.3・離散付値環と Dedekind 環 この先をたどる →
    • 横たわり定理✓定理 4.4・整拡大 この先をたどる →
    • Dedekind 環の特徴づけ✓定理 5.1・離散付値環と Dedekind 環 この先をたどる →
    • 完備体上の有限次元ノルム空間✓補題 2.3・局所体 この先をたどる →
    • 同値の判定✓命題 2.5・付値と完備化
    • 整拡大と極大イデアル✓系 4.2・整拡大 この先をたどる →
    • 分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
    • 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
    • 特性多項式と最小多項式✓補題 2.2・局所体 この先をたどる →
  • 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大

    • 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環 この先をたどる →
    • PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
    • 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環 この先をたどる →
  • 有限体の拡大の自己同型群✓補題 3.3・分解群・惰性群・Frobenius 元

    • フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
    • 体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
    • 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  • アルティンの定理✓補題 7.7・ガロア理論への招待

    • デデキントの補題（指標の一次独立性）✓補題 7.6・ガロア理論への招待
  • 局所体の 1 の冪根と Teichmüller 代表✓補題 4.1・局所体 この先をたどる →
  • 分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
• 完全分岐拡大と Eisenstein 多項式✓定理 5.1・局所体

  • 局所体での基本等式✓定理 2.6・局所体（上で展開済み）
  • Eisenstein 多項式の既約性✓系 7.4・付値と完備化 この先をたどる →
• 局所体の位相✓命題 6.3・局所体

  • 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間 この先をたどる →
  • コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性 この先をたどる →
  • 位相群定義 7.1・局所コンパクト空間
• 係数が近い多項式は同じ拡大を生む✓系 6.2・局所体

  • Krasner の補題✓補題 6.1・局所体 この先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

関連するノック 1 問

• 代数的整数論・類体論 第 25 問